שטבון נולד למשפחה יהודית שעלתה מצרפת. הוריו הם ד"ר ישראל שטבון, רופא קרדיולוג בכיר במרכז הרפואי מאיר שבכפר סבא, ודבורה, אופטומטריסטית ממוצא מרוקאי. אחיו הבכור הוא יוני שטבון, שכיהן כחבר כנסת. בצעירותו למד יאיר בישיבת בני עקיבא נתניה ובישיבה לצעירים בירושלים, והמשיך כשנתיים בישיבה הגבוהה באיתמר.

שטבון התגייס לצה"ל ושירת ביחידת דובדבן. עבר קורס קצינים ושירת בשירות קבע כמפקד. לאחר השחרור המשיך להתנדב במילואים בדרגת רב-סרן כסגן מפקד גדוד בחטיבת הקומנדו, ופעל ביהודה ושומרון וברצועת עזה במהלך מלחמת חרבות ברזל. בשנת 2021 זכה להיבחר כמצטיין יום העצמאות על ידי מפקד האוגדה.

לאחר שחרורו מהצבא, למד שטבון מספר שנים בישיבת עלי לבוגרי צבא, ובמקביל החל לפעול בתחום החינוך הבלתי פורמלי. הוא היה בין המקימים של פרויקט "מסע ישראלי". לאחר שסיים לימודי תואר ראשון בחינוך, הצטרף כמורה ומחנך לישיבת בני עקיבא בנתניה, והתקדם עם השנים לתפקידי רכז חברתי וסגן מנהל.

בהמשך הצטרף לרשת בתי הספר "אמית" ומונה למנהל בית הספר השש-שנתי "אמית אלירז" בפתח תקווה, שכלל חטיבת ביניים ותיכון. שטבון ניהל את בית הספר במשך שבע שנים, החל מהמחזור השני ועד למחזור השמיני. לאחר תקופה זו עזב את "אמית אלירז" כדי להקים קריית חינוך חדשה בשומרון בשם "אמית ברוכין".

בבחירות המוניציפליות של 2018, הציג שטבון מועמדותו למועצת העיר אריאל בראש רשימה מקומית של "הבית היהודי", שזכתה בשני מושבים במועצה.

בבחירות המקומיות של 2024, הכריז שטבון על מועמדותו לראשות עיריית אריאל והקים סיעה עצמאית בשם "אריאל – הדור הבא". בבחירות למועצת העיר, רשימתו זכתה למספר הקולות השני בגודלו וקיבלה שלושה מנדטים מתוך 13. במירוץ לראשות העיר בסיבוב הראשון, שטבון זכה ב-24% מהקולות, במקום השני אחרי אורן חזן שקיבל 25%, ולפני רועי מוסט שקיבל 23%. פער של 92 קולות בלבד הפריד בין שטבון למוסט והעלה אותו לסיבוב השני מול חזן.

על פי דיווח באתר סרוגים (יוני 2023), שטבון זוהה כמועמד סרוג לראשות אריאל כבר בתקופה שלפני הבחירות. בסיבוב השני זכה שטבון לתמיכת כלל המועמדים האחרים שהשתתפו בסיבוב הראשון, וניצח את חזן ברוב מובהק של 63.4% לעומת 36.6%.

ב-31 במרץ 2024 נשבע שטבון אמונים כראש עיריית אריאל, יחד עם הקואליציה שהקים. הקואליציה כוללת את שירה דקל כץ ואירנה רבינוביץ' מסיעתו "אריאל – הדור הבא"; אלה ויינר, עמי אברמן ואיריס אלון מהסיעה "הסיעה לעשייה"; ויחיאל טוהמי, חבר מועצה בודד שפרש מסיעת רועי מוסט. בספסלי האופוזיציה יושבים אורן חזן, נעמי ירקוני ויוסי שמאי מסיעת "אריאל חזקה בראשות אורן חזן", ורועי מוסט מסיעת "אריאל אחת".

במרץ 2024, על פי דיווח באתר סרוגים, הצטלם שטבון לסרטוני חודש אדר, בהתאם לאופי החגיגי של התקופה. בראיון לעיתון מקור ראשון באפריל 2024, התייחס שטבון לחזונו לעיר ואמר: "יש לנו מדרחוב שנראה כמו בשנות השבעים, ויכול להיראות כמו פריז".

שטבון נשוי למוריה, מדענית ואחות בהכשרתה, ואב לחמישה ילדים. המשפחה מתגוררת בעיר אריאל. כאמור, אחיו הוא יוני שטבון, שכיהן בעבר כחבר כנסת. בשנת 2020, על פי דיווח באתר מיינט נתניה באוקטובר 2020, פרש יוני שטבון ממועצת העיר נתניה והוחלף על ידי ים מאיר קרן.