אלידר נולד בעיר כרמאן שבאיראן. אביו עסק ביציקת גלילי דפוס ואמו הייתה עקרת בית. אב המשפחה רצה לגדל את ילדיו בארץ הקודש ועל כן יצא לדרך בלווית מבריחי גבול ערבים, שנטשו את המשפחה באישון ליל בהרי הגליל. בהאיר השחר נתגלו העולים הבלתי חוקיים על ידי ערבים מקומיים, ואלה מסרו אותם לשלטונות המנדט הבריטי. הם נעצרו בצפת ונשפטו לשלושה חודשי מאסר בכלא עכו ובכלא בית לחם.

ב-1940 הצטרף אלידר לבית"ר ולאחר מכן לברית החשמונאים, וכמו רבים מחברי תנועה זו, הצטרף לארגון הלח"י בהיותו בן 15. פעילותו במחתרת הקיפה תחומים רבים כגון הפצת חומר הסברה, גיוס כוח אדם וכספים, תצפיות והטמנת מוקשים. כמו כן שימש כאחראי על מחסן, עסק בהדרכה והיה קריין בתחנת השידור "לחרות ירושלים". ב-1946 סולק מבית הספר התיכון בשל חברותו בלח"י. אלידר גם שימש כמפקד מחנה הנוער "מחנה יואב" בשייח' באדר.

לאחר ההתנקשות ברוזן ברנדוט, נכלא אלידר ביפו והועבר לעכו. עם שחרורו מהכלא התגייס לצה"ל. שירת כקשר מורס בגדוד 9 בחטיבה 7 והשתחרר ב-1951.

לאחר שחרורו מצה"ל למד בבית המדרש למורים מטעם האוניברסיטה העברית וקיבל תעודת מורה מוסמך בכיר. כמו כן, למד בישיבת מרכז הרב.

בין השנים 1952–1984 עסק בהוראה ובניהול בתי ספר בירושלים ובפרוזדור ירושלים. היה חבר בתא המנהלים בירושלים ובתא הארצי. פעילותו בתחום החינוך לא פסקה גם לאחר יציאתו לגמלאות (1985), אלידר המשיך ללמוד וללמד עד שנת 1994, בישיבת "מכון מאיר", כדי להקים מנהיגות רוחנית לעדה האתיופית בישראל. הוא הקים את "המכון למורשת יהדות אתיופיה" והיה מנהלו הראשון מטעם הרבנות הראשית, משרד הדתות, משרד הקליטה וארגון ג'וינט ישראל.

אלידר היה חבר בחוג "סולם" וכתב בביטאון בשם י. בן-רחל ופעיל בהנהלת "המרכז הרוחני" של הרב הראשי לישראל לשעבר מרדכי אליהו.

אלידר נפטר ב-26 בפברואר 2023. הותיר אחריו אישה וארבע בנות. בתו היא הסופרת מירה קדר.

• יצחק אלידר, באתר העמותה להנצחת מורשת לח"י
• ריאיון עם בתו, הסופרת מירה קדר, בו היא מזכירה את אביה יצחק אלידר כאיש הלח"י, באתר של ידיעות אחרונות