גרשוני, בנם של פנינה ומשה, נולד בכפר סבא, למד בבית ספר יסודי בן-גוריון, בחטיבת הביניים בר-לב ובתיכון כצנלסון בעיר. הוא ניגן בחצוצרה בקונסרבטוריון ובתזמורת הייצוגית העירונית.

בצה"ל שירת כטייס מסוק קרב AH-64 אפאצ'י בטייסת 190 של חיל האוויר. במלחמת לבנון השנייה נפצע קשה בהתנגשות מסוקים שבה נהרג רב-סרן וסבל משברים מרובים ופציעות בארבע הגפיים. אחרי שיקום רפואי הצטרף לבית הלוחם תל אביב והחל להתאמן בטניס כיסאות גלגלים. מלבד הטניס, התנדב גרשוני במשך שנים בהוסטל "מקום אחר" בתל אביב ולימד בני נוער מתמטיקה. כיום נועם מרצה בארגונים, חברות וכנסים ומתנדב ב"עמותת ארז".

בדצמבר 2010 זכה בגמר טורניר בינלאומי בצ'כיה לטניס כיסאות גלגלים. באותו טורניר זכה גם בתחרות הזוגות עם נציג צרפת. אחרי תחרות זו דורג 29 בעולם.

בספטמבר 2011 העפיל לגמר אליפות ארצות הברית.

בנובמבר 2011 זכה בגמר תחרות המאסטרס בבלגיה, אליה מוזמנים ארבעת השחקנים הטובים בעולם. מדובר בפעם הראשונה ששחקן ישראלי העפיל לגמר היחידים בתחרות.

בינואר 2012 זכה בגמר האליפות הפתוחה של סידני אוסטרליה בטניס בכיסאות גלגלים, לאחר שגבר על המדורג מספר שתיים בעולם דייוויד וגנר, והיה לספורטאי הישראלי הראשון שזכה בתואר יחידים בתחרות גראנד סלאם.

באפריל 2012 גבר על האלוף הפאראלימפי של משחקי 2008 פיטר נורפוק וזכה בטורניר פנסקולה בפלורידה.

במאי 2012 העפיל עם שרגא ויינברג לשלב חצי הגמר בתחרות זוגות, במסגרת הטורניר הבינלאומי ביפן לטניס כיסאות גלגלים.

ב-1 ביולי 2012 זכה באליפות צרפת הפתוחה, ובזוגות זכה במקום השני יחד עם בועז קרמר.

השתתף בנבחרת הישראלית למשחקים הפאראלימפים 2012. הוא התחרה בקטגוריית הקוואד וזכה במדליית זהב בטורניר היחידים ובמדליית ארד בטורניר הזוגות יחד עם שרגא ויינברג.

במרץ 2022 הוביל את נבחרת ישראל בטניס בכיסאות גלגלים לניצחון על דרום קוריאה ובמוקדמות אליפות העולם באנטליה, טורקיה.

• * פירוט השתתפותו בתחרויות המשחקים הפאראלימפיים באתר הרשמי של IPC
• נועם גרשוני, אתר התאחדות טניס כיסאות גלגלים
• *