נחום קוק נולד בפלך ליפלנד של האימפריה הרוסית (כיום בלטביה) בדצמבר 1902 לרב דב בער הכהן קוק ולרבקה שאכן. אביו, אחיו של הרב קוק הרב הראשי לארץ ישראל, כיהן כרב בעפולה וניהל את מכון הארי פישל לדרישת התלמוד.

אחיו של נחום קוק היו: הלל קוק, רפאל הכהן קוק, סוניה מאירי, בתיה כלאב, נחמה ליפשיץ, ד"ר הרצל הכהן קוק וצילה הלוי.

קוק למד בישיבה בצעירותו, שירת בצבא האדום ולמד רפואה בהאוניברסיטה הלאומית חרקוב.

על הבחירה שלו כיהודי בחור ישיבה בלימודי רפואה סיפר כי כשהיה בגיל 17 הוא הלך ברחוב ולפתע צעיר אנטישמי ירה בו בחזה. הוא הובהל פצוע לטיפול דחוף, ואז שמע את הרופא שמטפל בו אומר לאביו: "הבחור הזה לא יחיה". באותו רגע, סיפר, גמלה בלבו ההחלטה, "לא רק שאני אחיה, אני גם אהיה רופא. רופא מסוג אחר, כזה שנלחם על חיי החולים שלו" ואכן הוא המשיך לחיות והיה לרופא.

אחרי עלייתו לארץ ישראל, התקבל קוק למשרה בבית החולים הדסה. בתחילה לא היו עמו התעודות ולשם כך העיד הרב קוק עליו וקיבלהו לעבודה כרופא עוד בטרם הגיעו המסמכים לארץ ישראל. קוק היה מתלמידיו הבולטים של פרופ' פליקס מנדל.

ד"ר קוק עבד כמנתח בבית החולים הדסה במשך כחמישים שנה. בימים שלפני הקמת המדינה ניתח את פצועי האצ"ל בבית חולים מחתרתי, במצור על ירושלים טיפל בפצועים בכל העיר, ובמלחמת ששת הימים ניהל בתוך בית החולים ביקור חולים, בית חולים צבאי מאולתר.

במלחמת ששת הימים, המנתח הירושלמי הוותיק ד"ר נחום קוק ניצב על משמרתו כל ימי המלחמה, כמעט ללא הפסקה, ביום ובלילה. הוא הסביר לעוזריו ללא הרף: אסור לקטוע איברים! עלינו לעשות הכול כדי להציל את החולה, מבלי לקטוע לו יד או רגל. לעתים נראה המצב חמור וכמעט על סף ייאוש, אבל ד"ר נחום קוק לא ויתר. את כל ניסיונו הרפואי העשיר העמיד במבחן ונאבק כדי להציל את גפיו של הפצוע. במרבית המקרים הצליח להציל את אבריהם של הנפגעים ומנע מהם להפוך בעלי מום לכל ימי חייהם.

לאחר מכן הסביר כי הגיע לרעיון הזה מדודו, אח אביו, מרן הרב קוק. ממנו שמע לא פעם כי 'אסור להתייאש גם מאיבר המדולדל מן הגוף. איבר שכזה, יש לעשות הכול כדי לאחות אותו אל הגוף ולהחזירו לחיים. כל עוד לא נגדע הטוב כליל, אין להתייאש ממנו'. מרן הרב קוק אמנם דיבר על איברים מסוג אחר, וכוונתו הייתה לרחוקים מתורה, אבל הכלל שניסח תקף גם לגבי איברים כפשוטם. לכן עמל להציל את איבריהם של משחררי ירושלים העתיקה כשסיסמתו היא נגד קטיעת איברים, ברוחניות ובגשמיות.

קוק נישא לקלרה ונולדו להם שלושה ילדים (שני בנים ובת).

מפורסם הסיפור בו פנו אליו הצדיק הירושלמי הרב אריה לוין ואשתו. סיפור המשמש באופן תדיר כדוגמה למימרה אשתו כגופו וכסיפור מופת בחינוך לשלום בית.

בשנת 1974 הוענק לקוק אות יקיר ירושלים.

קוק נפטר בכ"ה באב תש"ן, 16 באוגוסט 1990, ונקבר בבית העלמין סנהדריה. על המצבה שלו בבית העלמין בסנהדריה כתבה המשפחה "הקדיש חייו לחוליו, יקיר ירושלים".

• , ידידיה מאיר, קוק. דוקטור קוק, באתר ערוץ 7, 23 בפברואר 2014 - טורו השבועי של ידידיה מאיר בעיתון בשבע,

1. 12 אישים יקבלו השנה התואר "יקיר ירושלים", באתר מעריב, ‏29 אפריל 1974⁩
2. נסים לוי, יעל לוי, "רופאיה של ארץ-ישראל 1948-1799", איתי בחור - הוצאה לאור, מרץ 2012, ערך: פרופ' פליקס מנדל, עמוד 286-287
3. כדי שהקו יסמן הורות הוא צריך לרדת למטה
4. בחלק מהמקרים משך הנשואין מופיע מעל הקו
5. ^ כאשר אדם עוסק ביותר מתחום אחד שבתרשים, צבע הרקע יהיה לפי תחום עיסוקו המשמעותי ביותר.