200 px|שמאל|ממוזער|פסל של גאוס בעיר הולדתו, בראונשווייג

גאוס נולד בבראונשווייג שבסקסוניה התחתונה כבן יחיד למשפחת פועלים ענייה. אימו מעולם לא תיעדה את תאריך הלידה שלו, אולם זכרה שהוא נולד ביום רביעי, שמונה ימים לפני חג העלייה, שהוא עצמו מתרחש 39 ימים אחרי חג הפסחא. גאוס פתר מאוחר יותר את חידת תאריך לידתו בקונטקסט של מציאת תאריך חג הפסחא, ופיתח שיטות לחשב את מועדי החג בעבר ובעתיד.

גאוס היה ילד פלא. הוא עצמו סיפר כי עמד על סוד הפעולות האריתמטיות עוד בטרם ידע לדבר. קיימים סיפורים רבים על גאונותו כילד, רובם נחשבים לאגדות. אחד מהם, המובא בספרו של אריק טמפל בל, Men of Mathematics, מספר כי עוד בטרם מלאו לו שלוש שנים, נתגלה להוריו כישרונו המתמטי הייחודי: אביו עסק בהכנת גיליון השכר השבועי של הפועלים שבהשגחתו וביצע במשך מספר דקות את החישובים המסובכים. כאשר סיים את החישוב, אמר לו בנו שנפלה טעות בחישוב, ונקב בתוצאה שחישב בראשו. סיפור מפורסם אחר מבית הספר היסודי מספר כי מורהו של גאוס ביקש להעסיק את תלמידי הכיתה בתרגיל שלפתרונו הייתה דרושה שעה ארוכה. התרגיל היה לחבר את המספרים מ-1 עד 100. מספר שניות לאחר שהתרגיל הוצג לתלמידים, גאוס, שהיה באותה עת בן 7 שנים בלבד, הניח את לוח-היד שהיה נהוג באותם ימים, קרא "!Lieget se" ("הנה זה מונח", בניב המקומי) ונקב בתוצאה: 5,050. בדיעבד התברר כי הוא גילה את הנוסחה לטור חשבוני סופי מבלי להיות מודע לכך: הוא הבחין שסכום האיבר הראשון והאחרון זהה לסכום האיבר השני והלפני האחרון וכן הלאה (1 + 100, 2 + 99, ..., 50 + 51). כלומר כדי למצוא את הפתרון לתרגיל יש להכפיל 101 במספר הזוגות (ששווה למחצית של מספר איברי הסדרה), וכך מתקבל הפתרון (5,050=101X50).

אביו של גאוס, שהיה חסר השכלה ואב קשוח, רצה כי בנו ימשיך בדרכו ויהיה לבנאי, ולכן התנגד להמשך לימודיו של בנו. אך אמו הכירה בגאונותו של בנה ותמכה בהמשך לימודיו. מורהו ביטנר הכיר אף הוא בגאונותו של גאוס והסב אליו את תשומת לבו של הדוכס מבראונשווייג, קרל וילהלם פרדיננד. הדוכס אכן נתן את תמיכתו וחסותו בהמשך לימודיו התיכוניים והאוניברסיטאיים של גאוס.

גאוס קיבל מלגה מהדוכס, ובשנים 1792 עד 1795 למד ב-Collegium Carolinum (לימים האוניברסיטה הטכנית בבראונשווייג). משם המשיך ללימודים גבוהים באוניברסיטת גטינגן, שם למד עד 1798. בעודו באוניברסיטה, גילה מחדש באופן בלתי תלוי מספר מושגים ומשפטים חשובים: משפט הבינום המוכלל, הממוצע האריתמטי-גאומטרי, ומשפט ההדדיות הריבועית. הפריצה שלו התרחשה ב-1796, כאשר הראה באמצעות הרעיון של הרחבת שדות שכל מצולע משוכלל שמספר צלעותיו הוא מספר פרמה (ועקב כך כל מכפלה של מספר פרמה בחזקה של 2), ניתן לבנייה בסרגל ובמחוגה. תגלית זו הייתה ההתקדמות המשמעותית הראשונה בנושא בניות בסרגל ובמחוגה זה למעלה מ-2,000 שנה: בעיות בנייה העסיקו מתמטיקאים עוד מימי יוון העתיקה, והייתה להן חשיבות רבה בהתפתחות האלגברה; בזכות האנליזה המעמיקה של פולינומים ציקלוטומיים, הן פתחו שערים לתאוריות מתמטיות עמוקות כמו תורת גלואה. תגלית זו היוותה נקודת מפנה בחייו של גאוס, מכיוון שהניעה אותו לבחור במתמטיקה כקריירה ולא בבלשנות, שבה התעניין באותה עת. כחובב בלשנות נלהב שלט גאוס בשפות רבות: גרמנית, יוונית, לטינית, צרפתית, אנגלית ודנית.

1796 הייתה השנה הפרודוקטיבית ביותר עבור גאוס ותורת המספרים. ב-30 במרץ הוא גילה כי מצולע משוכלל בן 17 צלעות ניתן לבנייה בסרגל ומחוגה. גאוס היה גאה מאוד בתגליתו, ואף ביקש שייחרט על מצבתו מצולע משוכלל בן 17 צלעות. הוא פיתח את האריתמטיקה המודולרית, כלי בעל יכולת הפשטה ניכרת בתיאור מניפולציות בתורת המספרים. ב-8 באפריל 1796 היה הראשון שהוכיח את משפט ההדדיות הריבועית, משפט עמוק וכללי המאפשר למתמטיקאים לקבוע קיום פתירות של כל משוואה ריבועית באריתמטיקה מודולרית. גאוס כינה אותו בשם "משפט הזהב", ועדות לחיבה שרחש לו היא שפרסם שש הוכחות שונות שלו במהלך חייו (שתיים נוספות פרי עטו פורסמו לאחר מותו). משפט המספרים הראשוניים, אשר שוער ב-31 במאי, נותן הבנה טובה כיצד מתפלגים המספרים הראשוניים בין המספרים הטבעיים. ב-10 ביולי גאוס גילה שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של שלושה מספרים משולשים לכל היותר, ותיעד את התגלית בהערה מפורסמת ביומנו: "אאורקה! ∆ + ∆ + ∆ = num". ב-1 באוקטובר הוא גילה תוצאה על מספר הפתרונות של פולינום בעל מקדמים השייכים לשדה סופי, שהובילה להשערות וייל 150 שנה מאוחר יותר.

שמאל|ממוזער|העמוד הראשי של מחקרים אריתמטיים''

בעבודת הדוקטורט שלו משנת 1799, "הוכחה חדשה לכך שכל פולינום במשתנה אחד ניתן לפרק כמכפלה של גורמים ממשיים מן המעלה הראשונה והשנייה", סיפק גאוס הוכחה מבריקה של המשפט היסודי של האלגברה, משפט חשוב שממנו נובע כי לכל פולינום ממעלה n יש בדיוק n שורשים מרוכבים. עבודת הדוקטורט שלו הכילה ביקורת וסקירה מקיפה של ניסיונות הוכחה קודמים של המשפט, שנעשו על ידי אוילר, לגראנז' וד'אלמבר, והיא הייתה העבודה הראשונה שהצביעה על הפגם הבסיסי בהוכחות קודמות אלו של משפט זה. ההוכחה שלו הכילה טיעון מקורי, טופולוגי במהותו, והגישה הכללית שנקט בהוכחה הייתה מקורית. באופן אירוני, גם ההוכחה של גאוס לא הייתה שלמה, והיה בה פער לוגי, בשל שימוש "מובלע" במשפט העקום של ז'ורדן, ולפיכך היא אינה קבילה בסטנדרטים מודרניים. גאוס זיהה את החלל בהוכחתו, ובמרוצת חייו סיפק עוד שלוש הוכחות שונות של תוצאה זו; שתיים נוספות ב-1816 (האחת אלגברית באופיה והשנייה אנליטית), והאחרונה שבהן ב-1849, הנחשבת לדקדקנית ביותר מביניהן, לפי הסטנדרטים של היום. מאמציו להוכיח את המשפט היסודי הסירו לחלוטין את הספקות לגבי תקפותם של המספרים המרוכבים.

ב-1801 פרסם גאוס את יצירת המופת הגדולה ביותר שלו: "מחקרים אריתמטיים" (Disquisitiones Arithmeticae), שאת כתיבתה השלים עוד ב-1798, אך החליט לפרסמה רק שלוש שנים מאוחר יותר. ביצירה זו הציג גאוס לראשונה כלי חדש לתיאור בעיות בתורת המספרים - אריתמטיקה מודולרית, הוכיח לראשונה את משפט ההדדיות הריבועית, יצר את תורת התבניות הריבועיות, ויצר תאוריה של בנייה בסרגל ובמחוגה (שעל פיה הוכיח כי המצולע המשוכלל בן 17 צלעות ניתן לבנייה). הניתוח שגאוס נתן בספרו לתורת התבניות הריבועיות היה מעמיק במיוחד, ומלא ברעיונות ובמושגים חדשים. האופן שבו ניתח בעיות והקונספציה החדשה שהציג בספר היוו מקור השראה למתמטיקאים במשך דורות רבים אחרי פרסומו. כך, למשל, ניתוחו של גאוס את בעיות הבנייה בסרגל ומחוגה הכיל חלק מהאלמנטים הרעיוניים של תורת גלואה, וספר זה היווה מקור השראה לגלואה.

באותה שנה גילה האסטרונום האיטלקי ג'וזפה פיאצי את האסטרואיד קרס. אולם פיאצי היה יכול לעקוב אחריו רק למשך מספר חודשים בלבד, וחלק מסלולו שבו הצליח לצפות היווה רק 3 מעלות בשמי הלילה. לאחר מכן נעלם קרס באופן זמני מאחורי ההילה של השמש. מספר חודשים מאוחר יותר, כאשר קרס היה אמור להופיע שוב, לא היה פיאצי מסוגל לאתר אותו מחדש: הכלים המתמטיים של התקופה לא היו מסוגלים לבצע חיזוי של מיקום האסטרואיד על פי מידע כל-כך זעום, שכן 3 מעלות מהווים פחות מ-1% ממסלולו של האסטרואיד.

גאוס, שהיה אז בן 23, שמע על הבעיה והחליט לנסות ולחזות את מיקומו של האסטרואיד. לאחר שלושה חודשים של עבודה מאומצת, הצליח גאוס לחזות את הזמן (דצמבר 1801) ואת המקום שבו יופיע האסטרואיד קרס שוב. ואכן, שנה לאחר שנראה בפעם הראשונה, הופיע קרס מחדש בזמן ובמקום שגאוס חזה. התחזית למיקום התבררה כמדויקת בדרגה של חצי-מעלה כאשר האסטרואיד נצפה על ידי הברון פרנץ פון זאך ב-31 בדצמבר 1801 בעיר גותה, ויממה מאוחר יותר על ידי היינריך אולברס בברמן. ההישג הביא לגאוס תהילה והכרה מיידית גדולה, והוביל לכך שהוצעה לו משרה כפרופסור לאסטרונומיה וכמנהל מצפה הכוכבים של אוניברסיטת גטינגן. העובדה שהחיזוי היה כה מדויק, חרף מגבלות הכלים המתמטיים בני אותו זמן, זעזעה את הקהילה המדעית באותה תקופה. זאך כתב כי "בלעדי העבודה האינטליגנטית והחישובים של גאוס ייתכן כי לעולם לא היינו מוצאים מחדש את קרס שוב". בשלב זה בחייו עדיין נתמך גאוס במלגה שניתנה לו מטעם הדוכס מבראונשווייג ולא נזקק לעבודה. אולם עם מותו של הדוכס ב-1807, החליט לקבל את המשרה שהוצעה לו והחזיק בה עד יום מותו.

השיטה של גאוס הייתה כרוכה בקביעת חתך חרוט במרחב בהינתן המוקד שלו (השמש), וחיתוך החרוט עם 3 ישרים נתונים (קווי ראייה מכדור הארץ לקרס, כשכדור הארץ עצמו נע במסלול אליפטי), ובהינתן הזמן שנדרש לקרס לעבור את הקשתות המותוות בין ישרים אלו (אשר מהם ניתן לחשב את אורך הקשתות באמצעות החוק השני של קפלר). בעיה זו מובילה למשוואה ממעלה שמינית, שפתרון אחד שלה, מסלול כדור הארץ, ידוע. הפתרון שמחפשים מופרד אז מ-6 האחרים בהתבסס על התנאים הפיזיקליים. בעבודה זו גאוס השתמש בשיטות קירוב מעמיקות שיצר במיוחד לצורך מטרה זו.

שיטה אחת כזו הייתה טרנספורם פוריה מהיר (Fast Fourier Transform). בעוד שיטה זו מיוחסת בדרך כלל למאמר משנת 1965 של המתמטיקאים ג'יימס קולי וג'ון טוקי, גאוס פיתח אותה כשיטת אינטרפולציה טריגונומטרית. המאמר שלו, Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata, פורסם רק לאחר מותו בכרך השלישי של אוסף העבודות שלו. עבודה זו אף חוזה את ההצגה הראשונה של ז'וזף פורייה על הנושא בשנת 1807.

ימין|ממוזער|300px|התפלגויות נורמליות שונות בסטטיסטיקה

גילוי האסטרואיד קרס על ידי פיאצי הוביל את גאוס לעבודתו המונומנטלית על התאוריה של תנועת אסטרואידים המושפעים מגופים גדולים, אותה פרסם בשנת 1809 בשם "תאוריה של תנועת הגופים השמימיים בחתכי חרוט סביב השמש". בעבודה זו הוא כיסה, איחד וייעל את המתמטיקה של חיזוי המסלולים של המאה ה-18 עד כדי כך שהיא נחשבת לאבן פינה בתולדות האסטרונומיה החישובית. החיבור הציג את קבוע הכבידה הגאוסי, והכיל יישום מעמיק וממצה של שיטת הריבועים הפחותים אותה המציא, שיטה אשר משתמשים בה בכל ענפי המדעים המדויקים כדי להקטין למינימום את ההשפעה של שגיאות המדידה. באמצעות הגדרת ההתפלגות הנורמלית של שגיאות, הוכיח גאוס בחיבורו את שיטתו שלו (ראו גם: סטטיסטיקת גאוס-מרקוב). ההתפלגות הנורמלית, שנחשבת להתפלגות החשובה ביותר בסטטיסטיקה ומיושמת בתחומי חיים רבים ובכל תחומי המדע, נקראת מאז בשם "פעמון גאוס" או "גאוסיאן". שיטה זו תוארה קודם לכן על ידי לז'נדר ב-1805 אך גאוס טען כי הוא השתמש בה כבר ב-1795.

בין השנים 1812 ל-1818, השנים הראשונות לאחר חזרתו לגטינגן, היה לגאוס פרץ נוסף של רעיונות יצירתיים בתחומים שונים במתמטיקה, ובעקבותיו פרסם מספר רב של מאמרים בולטים, בהם מאמרו משנת 1813 בו מצא באופן אנליטי טהור את המשיכה שיוצר אליפסואיד בכל נקודה במרחב, מאמרו "חקירות כלליות חדשות על הטור האינסופי" שפתח את העידן הריגורוזי של האנליזה המתמטית והיה הדיון השיטתי הראשון על טורים היפרגאומטריים וההצגה של הפונקציה ההיפרגאומטרית, מאמרו "שיטה חדשה לחישוב ערכי אינטגרלים על ידי קירוב" - חיבור על שיטה חדשה לאינטגרציה נומרית, מאמרו "קביעת הדיוק של תצפיות" ובו דיון באמדים סטטיסטיים, וכן מאמרו פורץ הדרך באסטרונומיה תאורטית משנת 1818 בו הוכיח שהפרטורבציה המסלולית הנגרמת על ידי גוף מסיבי לגוף קטן שקולה לפרטורבציה אשר הייתה נגרמת על ידי טבעת מסה אליפטית שצפיפותה בכל נקודה פרופורציונלית למסת הכוכב ויחסית הפוך למהירותו באותה נקודה (עבודתו על הפרטורבציות במסלולו של פאלאס הובילה אותו למשפט זה).

ב-1818 החליט גאוס לנצל את יכולותיו החישוביות לשימוש מעשי והוביל סקר גאודזי של ממלכת הנובר, וקישר לסקרים דניים מקבילים. כדי לקדם את הסקר המציא גאוס את ההליוטרופ, מכשיר העושה שימוש במראה כדי להחזיר את אור השמש על פני מרחקים גדולים במטרה לסמן ולמדוד מרחקים של עמדות. מחקריו בגאודזיה העמידו יסודות חדשים למדע הגאודזיה, ותרמו לנושאים רבים: יישומים מתמטיים כגון התאוריה המתמטית של קווים גאודטיים על משטח עקום, תיאור הצורה של כדור הארץ (בין היתר טבע את המונח "גאואיד") והסבר לאי רגולציות שלה, הכנת מפות מדויקות יותר של אזורים שונים, שיטות אינטרפולציה טריגונומטרית ועוד.

הסקר של הנובר עורר בגאוס עניין בגאומטריה דיפרנציאלית, תחום במתמטיקה הדן במשטחים ובעקומות. בין השאר יצר בתחום זה מושג מרכזי המתאר עקמומיות של משטחים, וקרוי על שמו עקמומיות גאוס. ב-1827, גאוס גילה וניסח משפט מתמטי חשוב ביותר בתחום זה (Theorema Egregium), המקשר בין הרעיון של עקמומיות משטח לגאומטריה של הצורות המתקיימות עליו, כלומר לזוויות ולמרחקים הנמדדים על פני המשטח ולהבדל בין תוצאות המדידות על פני המשטח לבין אלו הנקבעות בגאומטריה אוקלידית. המשפט ביסס את החשיבות היסודית שיש לעקמומיות גאוס בגאומטריה דיפרנציאלית. הוא פרסם משפט זה ואת מכלול התאוריה שלו על משטחים עקומים בחיבורו מאותה שנה "חקירות כלליות על משטחים עקומים", שהוא יצירתו המרכזית בתחום זה. גאוס ניסח והוכיח גם את המשפט הידוע כמשפט גאוס-בונה, המקשר בין הגאומטריה של משטח לטופולוגיה שלו, משפט בעל חשיבות בהנחת יסודות הטופולוגיה.

שמאל|ממוזער|250px|קרל פרידריך גאוס, 1828

ב-1820 החל מתמטיקאי הונגרי בשם יאנוש בויאי, בנו של פרקש בויאי שהיה חבר טוב של גאוס, ליצור את התאוריה שלו לגבי גאומטריה לא-אוקלידית, ופרסם תוצאות לגביה ב-1832. תוצאות אלו הביאו לשינוי פרדיגמה משמעותי בהבנה של תחום הגאומטריה, שכן הן שחררו מתמטיקאים מהאמונה המוטעית שרק באמצעות מערכת האקסיומות של אוקלידס ניתן לבנות גאומטריה עקבית ונטולת סתירות פנימיות. מאוחר יותר טען גאוס שהוא הגיע בעצמו לתוצאות שפרסם בויאי לפניו אבל לא פרסמן מעולם; הוא כתב לפרקש בויאי: "לשבח עבודה זו יהיה זה למעשה לשבח את עצמי. שכן כל תכולת העבודה... מתלכד כמעט במדויק עם ההרהורים המתמטיים שלי עצמי אשר העסיקו אותי במהלך שלושים או שלושים וחמש השנים האחרונות". הוא אכן הגיע לתוצאות אלו, כפי שניתן ללמוד ממכתבו לפרנץ אדולף טאורינוס בשנת 1824, אך סירב לפרסמן מחשש לזעם ההמונים ("מוג לב במקצת" כינה אותו בשל כך מדען המחשב אדסחר דייקסטרה).

אחרי 1828 החל להסתמן כיוון חדש בעבודתו של גאוס, והוא החל לחקור בעיקר בעיות בפיזיקה תאורטית. הפירות הראשונים שהניב מחקר זה היו מאמרו על מכניקה משנת 1829: "על ניסוח יסודי חדש של המכניקה", בו ניסח מחדש את המכניקה הקלאסית באמצעות עיקרון חדש בחשבון וריאציות (עקרון האילוץ המינימלי של גאוס), ומאמרו משנת 1830 על נימיות: "עקרונות כלליים של תאוריית הצורה של נוזלים בשיווי משקל", בו דן בנוזלים במצב שיווי משקל וסיפק בסיס ריגורוזי חדש לתחום. בתקופה זו החל גם להתעניין בקריסטלוגרפיה, והגיע למספר תוצאות חשובות; הוא הציע מערכת סימון קריסטלוגרפית שהייתה למעשה שקולה למערכת אינדקס מילר{{הערה| Carl Friedrich Gauss: Titan of Science {{צ-ספר|מו"ל=MAA|שם=Carl Friedrich Gauss: Titan of Science|שפה=en|שנת הוצאה=2004-10-14|קישור=https://books.google.co.il/books?id=4mwSrfxBSzkC&pg=PR29&dq=gauss:titan+of+science&hl=iw&sa=X&ved=0ahUKEwiBruzF693SAhWrKMAKHWbSAt4Q6AEIGDAA#v=onepage&q=gauss%253Atitan%2520of%2520science&f=false|מחבר=G. Waldo Dunnington, Jeremy Gray, Fritz-Egbert Dohse}}|כיוון=שמאל}}. בהשראת מחקרו הקריסטלוגרפי, פתר גאוס את בעיית "אריזת הכדורים האופטימלית" - הוכחת השערת קפלר - במקרה של מארז סריגי (lattice) רגולרי (אי-האפשרות של אריזות לא רגולריות צפופות יותר לא הוכחה עד 1998).

ב-1831 החל גאוס בשיתוף פעולה עם הפיזיקאי וילהלם ובר. שיתוף פעולה זה היה פורה ביותר והוביל לידע חדש בתאוריה של האלקטרומגנטיות, כגון ייצוג של יחידה מגנטית במונחים של מסה, אורך וזמן, וכן גילוי חוקי קירכהוף. ובר וגאוס הגיעו לתגליות רבות בנוגע לחשמל סטטי, תרמי, וזה הנובע מחיכוך, אך לא פרסמו אותן, בעיקר משום שמחקרם התמקד במגנטיות ארצית. גאוס עצמו ניסח את חוק גאוס באלקטרוסטטיקה (שמהווה מקרה פרטי של משפט גאוס באנליזה וקטורית), אחד החוקים הבסיסיים והחשובים ביותר בתחום זה, וכן את חוק גאוס במגנטיות. ב-1833 תכננו גאוס וובר את הטלגרף האלקטרומגנטי הראשון, באורך 3 קילומטר, שקישר את מצפה הכוכבים אל מכון הפיזיקה בתוך אוניברסיטת גטינגן. גאוס וובר עמדו מיד על חשיבות המצאתם להתפתחות התעשייתית בעולם, וובר התנבא כי "הטלגרף יעשה לעולם את מה שמערכת העצבים עושה לגוף האנושי". המעבדה של גאוס וובר הייתה אחראית על פיתוח מספר אמצעי מדידה בתחום האלקטרומגנטיות, ובין היתר הם המציאו את המגנטומטר הראשון. באמצעות המגנטומטר שהמציא, מדד גאוס ב-1835 לראשונה את עוצמת השדה המגנטי של כדור הארץ. כמו כן פיקח גאוס על בנייתו של מתקן מגנטי במצפה הכוכבים, ויחד עם ובר ייסד את "המועדון המגנטי" (magnetischer Verein), אשר תמך במדידות של השדה המגנטי של כדור הארץ באזורים שונים.

ממוזער|300px|left|המגנטומטר של גאוס וובר.

כחלק מפרויקט זה פיתח גאוס שיטה למדידת העוצמה האופקית של שדה מגנטי, שיטה אשר היוותה למעשה את התאוריה המתמטית להפרדה בין המקור הפנימי (הגלעין והקרום) לבין המקור החיצוני (המגנטוספירה) של השדה המגנטי של כדור הארץ. באחד ממאמריו על התאוריה המגנטית שלו יישם גאוס את התאוריה המתמטית שלו והמידע הניסויי הרב שצבר על השדה המגנטי של כדור הארץ, וכך פילסה את עצמה תגלית עולמית כאשר גאוס יכול היה, לראשונה בהיסטוריה, להצביע על המיקום המדויק של הקטבים המגנטיים של כדור הארץ, נושא שריתק ימאים מאז ימי קדם. מספר שנים קודם לכן, ב-1831, איתר מגלה הארצות הבריטי ג'יימס קלארק רוס לראשונה באופן מקורב את הקוטב המגנטי הצפוני. תוצאות חישוביו של גאוס הצביעו על אותו אזור גאוגרפי, וסטו כ-3 מעלות ו-30 דקות קשת מהמיקום האמיתי, מה שהוכיח את אמינות התאוריה. פעילותו הענפה של המועדון המגנטי במדידת השדה המגנטי הארצי הניבה את ה"אטלס המגנטי" הראשון של כדור הארץ, שיצא לאור בפרסום משותף של גאוס וובר משנת 1840.

ב-1840 פרסם גאוס את חיבורו המשפיע Dioptrische Untersuchungen, שבו תיאר את האנליזה השיטתית הראשונה של היווצרות דמויות תחת הקירוב הפראקסיאלי (אופטיקה גאוסיאנית). בין התוצאות הרבות בחיבור, הוכיח גאוס כי מערכת אופטית ניתנת לאפיון באמצעות 6 הנקודות הקרדינליות שלה, גזר את נוסחת העדשות הגאוסיאנית, טיפל לראשונה באופן מתמטי בעדשות עבות, והראה שההדמיה של מערכות אופטיות סימטריות מסוימות ניתנת לביטוי כפיתוח לטור שבו האיבר הראשון מספק את ההתנהגות הסטיגמטית האידיאלית, והאיברים מסדרים גבוהים יותר מתארים את האברציות. בסיסי ככל שהוא נראה היום, חיבור זה עסק בנושאים רבים שלא הובנו היטב לפני פרסומו, לפחות לא באופן מתמטי מדויק, ומסיבה זו בדיוק הוא כונה לפעמים "עבודתו המדעית החשובה ביותר". גאוס פעל גם במישור הפרקטי של האופטיקה, חקר את הבעיה של בניית אופטיקה עם עיוותים מינימליים, ושיפר את התכנון של טלסקופים ומכשירים אופטיים אחרים. לפועלו של גאוס בתחום האופטיקה במרוצת השנים הייתה השפעה ראויה לציון על התפתחות התעשייה האופטית בגרמניה.

אחרי 1840 הלכה והצטמצמה בהדרגה פעילותו המדעית של גאוס. הוא עסק בבעיות מתמטיות בעלות חשיבות משתנה; מספר פאזלים קומבינטוריים (בהם חידת שמונה המלכות), בעיות מתמטיות מרכזיות מסוימות ועוד. הוא המשיך לעסוק בבעיות בפיזיקה תאורטית ובפיזיקה ניסויית, ונותר פעיל מאוד באסטרונומיה תצפיתית; הוא המשיך לעשות תצפיות וחישובים אסטרונומיים, והמשיך במחקרו על מגנטיות כדור הארץ. מחקריו המתמטיים והפיזיקליים עסקו בהתכנסות של טורים, מתמטיקה אקטוארית, בעיות מכניות הקשורות בסיבוב כדור הארץ (בהמשך למחקריהם של לגראנז', פלאנה, הנסן וקלאוזן), בשיפורים למטוטלת פוקו ועוד. בתקופה זו גאוס אימץ תחביב חדש של איסוף עיתונים וכל סוג שהוא של חדשות פיננסיות. הוא נודע כמשקיע חכם, וממשלות רבות ברחבי אירופה אף הציעו לו להיות שר אוצר. הספקולציות הפיננסיות שלו עזרו לו להשיג הכנסה שנתית הגבוהה פי 200 מהמשכורת השנתית שלו. ב-1851 ביסס בפעם האחרונה אוסף חדש של עקרונות מדעיים, הפעם במתמטיקה אקטוארית, שעסקו בתאוריות מתמטיות של ביטוחים וקרנות פנסיה.

ב-1854 בחר גאוס את הנושא להרצאה המפורסמת של תלמידו ברנהרד רימן, "על ההיפותזה העומדת ביסודות הגאומטריה". בדרך חזרה לביתו מהרצאתו של רימן, סיפר ובר שגאוס היה נרגש ומלא שבחים על ההרצאה.

גאוס נפטר בשנת 1855 (כחודשיים לפני יום הולדתו ה-78), בגטינגן, שם אף נקבר. מוחו של גאוס לא נקבר עמו אלא נמסר למחקר מדעי; נמצא כי משקלו 1,492 גרם ושטחו הצֶרֶבְּרָלִי 219,588 סמ"ר. נמצאה גם רמת פיתולים גבוהה במיוחד, ממצא שהוצע בתחילת המאה ה-20 כהסבר לגאונות שלו.

לאחר מותו של גאוס נמצא בביתו יומן שניהל בין השנים 1796 ו-1814, ובו רשם את תגליותיו בצורה מדויקת, כשהוא מקפיד לרשום את תאריך הגילוי וההוכחה של כל אחת מהן. רובן לא פורסמו עד מותו. נמצא כי היומן מכיל 146 תוצאות, שחלק מהן התגלו והוכחו על ידי מתמטיקאים אחרים שנים רבות לאחר מכן. עובדת היותו של יומן זה מסמך מתמטי-ביוגרפי משנות הפריצה של גאוס, הפכה אותו לימים לאחד המסמכים החשובים בהיסטוריה של המתמטיקה, ולחלון הצצה מרתק לתקופת קו התפר בין המתמטיקה של המאה ה-18 והמתמטיקה של המאה ה-19.

ממוזער|320px|left|קברו של גאוס בבית הקברות אלבני בגטינגן, גרמניה.

גאוס הוא דוגמה בולטת לאישיות גאונית אשר מעמדה בעולם המתמטיקה והמדע אף גבר לאחר מותה. כל תיאור של רוחב ועומק היריעה של עבודתו המדעית של גאוס אינו יכול לתת תמונה הולמת של הישגיו ללא התייחסות לכמות הגדולה של הכתבים הלא מפורסמים שנמצאו בעיזבונו. בעיני חלק מבני דורו, טענותיו התדירות של גאוס לזכות ראשונים שלו סביב נושאים מתמטיים רבים, נתפסו לעיתים קרובות כאמירות יהירות. כך היה בעימות עם אדריאן-מארי לז'נדר סביב שיטת הריבועים הפחותים, כך עם אבל ויעקובי סביב תורת הפונקציות האליפטיות, כך עם יאנוש בולאי סביב הגאומטריה ההיפרבולית, וכך בכמה מקרים נוספים. עם זאת, במרבית המקרים התברר בסופו של דבר שגאוס אכן הקדים את זמנו, כפי שעולה מכתביו הנרחבים, שנוגעים כמעט בכל תחום מתמטי שהתקיים בזמנו.

בין אלו, ראויים לציון מיוחד כתביו על אנליזה מתמטית, שכוללים את חיבורו על הממוצע האריתמטי גאומטרי, ואת כתביו על פונקציות אליפטיות והתיאורים השונים שלהן - חיבורים אלו מכסים חלק גדול מעבודתם של אבל ויעקובי ובמקרים מסוימים אף מכילים תוצאות שאינן מופיעות בכתביהם. בהשוואה לנושאים אחרים לגביהם לעיתים קרובות נתגלעה מחלוקת עם בני תקופתו של גאוס סביב זכות הקדימות על גילויים (בין היתר עקב טענותיו של גאוס עצמו), חיבוריו אלו היו כתובים בצורה מוגמרת ומלוטשת בהרבה, והשפעתם נמשכה הלכה למעשה גם בעשורים הראשונים שלאחר מותו של גאוס, דרך עבודתם של פליקס קליין ומתמטיקאים נוספים על פונקציות מודולריות.

גם בכתביו בתורת המספרים זוהו תגליות רבות, אם כי במקרה זה הגילוי של כתביו הלא מפורסמים היה פחות דרמטי שכן במרוצת השנים גאוס כן פרסם את מרבית ממצאיו החשובים בתחום הזה. בהקשר זה, ראויים לציון מיוחד צמד חיבוריו (הלא מפורסמים) מ-1834 ו-1837 על היישום של שיטות אנליטיות מעמיקות לקביעת החוקיות האסימפטוטית של מספר המחלקות של תבניות ריבועיות בינאריות (נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה); תוצאות אלו, העומדות ביסודה של תורת המספרים האנליטית, ככל הנראה היו מוכרות לו כמה עשורים קודם לכן, כפי שעולה מכמה תוצאות שהופיעו ב"מחקרים אריתמטיים" (1801), או ממכתבו לדיריכלה מ-1828. בעלי חשיבות מיוחדת הם גם כתביו על הפירוש הגאומטרי של תוצאות בתורת המספרים, או על המתודולוגיה של עבודתו האריתמטית.

בהשוואה לכתביו בתחומים מתמטיים אלו, כתביו על יסודות הגאומטריה וגאומטריה לא אוקלידית הם בעלי אופי מקוטע בהרבה, ולא ניתן לראות בהם סימוכין וביסוס מלא לטענות של גאוס כי (כפי שכתב ליאנוש בולאי) עבודתו של בולאי מתלכדת במדויק עם הרהוריו שלו עצמו במהלך 30 השנים האחרונות. גם בכתביו והתכתבויותיו על מערכות מספרים היפר-מרוכבים (הקווטרניונים של ויליאם רואן המילטון) המצב דומה, אם כי ניכר שאלו היו מעט בשלים יותר מאשר כתביו על גאומטריה לא אוקלידית. עם זאת, העובדה שנתגלתה לאחר מותו, כי גאוס עצמו התייחס לנושא הגאומטריות החלופיות במלוא הרצינות, שכנעה את העולם המתמטי להתייחס בכובד ראש להישגיהם של בולאי ולובצ'בסקי, שבאותה עת עדיין נתפסו אזוטריים ולא קנו לעצמם אחיזה משמעותית מספיק. מכיוון ששמו של גאוס "עזר" לקדם את תגליותיהם של בולאי ולובצ'בסקי, נתקבעה לעיתים קרובות נטייה לייחס לו תפקיד מרכזי ביצירת הגאומטריה הלא אוקלידית במקביל לשניים האחרים, באופן לא פרופורציונלי לתפקיד האמיתי שמילא. היטיב לבטא זאת המתמטיקאי וההיסטוריון ג'רמי גריי , לפיו גאוס ראוי יותר להיקרא מגלה של הגאומטריות החלופיות מאשר יוצר שלהן.

גם במהלך המאה ה-20 לא פג העניין בו, ונתגלו מחדש היבטים נוספים של עבודתו; כך היה המקרה עם האלגוריתם של התמרת פורייה מהירה, עם הטכניקות של שיטות ריבועים פחותים רקורסיביות, או עם התפתחויות בתורת המספרים ששפכו אור על כמה מתגליותיו האריתמטיות העמוקות יותר. לסיכום, הכמות העצומה של תגליות בפרסומיו ובכתביו הלא מפורסמים קיבעו את מעמדו כדמות מרכזית בהיסטוריה של המתמטיקה, אשר ללימוד עבודתה יש ערך פדגוגי מוסף מעבר לעניין מתמטי או מדעי גרידא.

גאוס היה לותרן פרוטסטנט, וחבר בכנסיית סנט אוונס שבגטינגן. עדות לאמונה העמוקה של גאוס ברלוונטיות האמונה באלוהים מגיעה מתגובתו לאחר שפתר בעיה שטרדה את מנוחתו במשך זמן רב: "בסופו של דבר הצלחתי – לא על ידי מאמציי הגדולים, אלא בידי חסד האל". אחד הביוגרפים שלו G. Waldo Dunnington מתאר את השקפותיו הדתיות של גאוס במילים הבאות:

Dunnington ממשיך ומציג את ההשקפות הדתיות של גאוס בכותבו:

{{ציטוט|מירכאות=כן|תוכן= התודעה הדתית של גאוס הייתה מבוססת על צמא בלתי ניתן לסיפוק לאמת ותחושה עמוקה של צדק בנוגע לקניין רוחני וחומרי. הוא דימה חיים רוחניים ביקום כולו כמערכת גדולה של חוקים המתנהלת לפי אמת נצחית, וממקור זה הוא שאב את הביטחון האיתן שהמוות אינו הסוף כלל וכלל.

}}

גאוס הצהיר שהוא האמין אמונה איתנה בחיי העולם הבא, וראה רוחניות כמשהו החשוב באופן מהותי לבני אנוש. הוא צוטט פעם: "העולם יהיה חסר תכלית, והבריאה כולה אבסורד, ללא חיי אלמוות". אף על פי כן, Dunnington קובע שגאוס לא האמין בכל הדוגמאות הנוצריות, ולא ניתן לפרש את האמונה שלו כשייכת למסורת הנוצרית. האמונה שלו הייתה קרובה יותר לאמונה הבודהיסטית מאשר לאמונה הנוצרית, שכן הוא הביע אמונה מסוימת בגלגול נשמות (בהתכתבות עם אולברס בנוגע לגאומטריה הלא אוקלידית הוא כתב: "...אולי בגלגול אחר נזכה לפלח במבטינו את טיבו של המרחב..." ) והאמין יותר במסע של למידה שעוברת הנשמה בעולם מאשר בגן עדן נצחי.

גאוס נישא לראשונה ב-9 באוקטובר 1805 ליוהאנה אוסטהוף. לזוג נולדו שלושה ילדים: יוזף (1806–1873), וילהלמינה (1808–1846) ולואי (1809–1810). אולם, אושר זה לא נמשך זמן רב ונקטע על ידי שרשרת של אירועים טרגיים: ב-1808 נפטר אביו של גאוס ושנה לאחר מכן נפטרה אשתו בלידת הבן לואי, שנפטר אף הוא זמן קצר לאחר מכן. אירועים אלו השפיעו קשות על גאוס והוא שקע בדיכאון עמוק. בעודו מטפל בשני ילדים קטנים, החליט גאוס להינשא שנית כשנה לאחר מכן לאחת מחברותיה של אשתו, פרידריקה וילהלמינה ואלדק (אשר כונתה מינה). נולדו להם שלושה ילדים: אויגן (1811–1896), וילהלם (1813–1879) ותרזה (1816–1864). מינה סבלה ממחלות רבות ונפטרה ב-1831. בתו תרזה השתלטה על אחזקת הבית ודאגה לכל מחסורו של גאוס עד מותו. אימו של גאוס אף היא חייתה עמו בביתו מ-1817 עד מותה ב-1839.

גאוס התעמת עם ילדיו על רקע בחירת מקצועם: הוא לא העריך אותם כמתמטיקאים ולא רצה שיעסקו בתחום, מחשש שיכתימו את שם המשפחה. העימות הקשה ביותר היה עם בנו אויגן אשר גאוס בחר עבורו במקצוע המשפטים, אך אויגן העדיף להתרכז בלימודי שפות אותם לא הסכים אביו לממן. לבסוף היגרו שני בניו של גאוס, אויגן ווילהלם, למיזורי שבארצות הברית. מבין כל ילדיו הייתה וילהלמינה היחידה שנחשבה בעלת כישרון מתמטי קרוב לשל אביה.

שמאל|ממוזער|200px|איור מתוך עבודת הדוקטורט של גאוס (1799), שעשתה שימוש בטיעונים טופולוגיים הנוגעים לענפים של עקומים אלגבריים.

בעבודת הדוקטורט שלו משנת 1799, Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (הוכחה חדשה לכך שכל פולינום במשתנה אחד ניתן לפרק כמכפלה של גורמים ממשיים מן המעלה הראשונה והשנייה) סיפק גאוס הוכחה מבריקה של המשפט היסודי של האלגברה, משפט ממנו נובע כי לכל פולינום ממעלה n יש בדיוק n שורשים מרוכבים. עבודת הדוקטורט שלו הכילה ביקורת וסקירה מקיפה של ניסיונות הוכחה קודמים של המשפט, שננקטו על ידי אוילר, לגראנז' וד'אלמבר, והיא הייתה העבודה הראשונה שהצביעה על הפגם הבסיסי בהוכחות קודמות של המשפט. הגישה הכללית של ההוכחה שלו הייתה גאומטרית מטבעה, והכילה טיעון מקורי, אשר ליבתו מבוססת על אבחנות טופולוגיות במהותן; גאוס מנתח בה לעומק כיצד פועלת ההעתקה הפולינומית $p(z):\; mathbb\{C\}\; to\; mathbb\{C\}$ על המישור המרוכב. באופן אירוני, גם ההוכחה של גאוס לא הייתה שלמה והיה בה פער לוגי, שכן גאוס הניח בה מספר הנחות על ענפים של עקומים אלגבריים אשר למעשה עשו שימוש "מובלע" במשפט עקומת ז'ורדן; הוכחה זו התבססה על טענה לא מוכחת שעקום אלגברי הנכנס לדיסקה נתונה חייב לצאת ממנה בסופו של דבר, ולפיכך היא לא קבילה בסטנדרטים מודרניים.

גאוס זיהה את החלל בהוכחתו ובמרוצת חייו סיפק עוד שלוש הוכחות שונות של תוצאה זו; שתיים נוספות ב-1816 (האחת אלגברית באופייה והשנייה אנליטית), והאחרונה שבהן ב-1849. את ההוכחה השנייה האלגברית שלו ניתן להבין לעומק רק תוך שימוש בהמשגה המאוחרת יותר של תורת גלואה; הרעיון המרכזי שלה הוא להיעזר בתכונות אלגבריות של הפונקציות הסימטריות כדי לגזור משוואה דיפרנציאלית הקושרת בין הפולינום ההתחלתי והדיסקרימיננטה שלו. בדרך זו מוכיחים את הקיום של שדה פיצול המוכל בשדה המספרים המרוכבים. ההוכחה השלישית האנליטית שלו מבוססת על הצבות אינטגרליות מורכבות ועל שימוש במושגים כדוגמת אינדקס הליפוף, ומניחה באופן סמוי את משפט אינטגרל קושי.

ההוכחה הרביעית והאחרונה שלו, שהוצגה במסגרת אירוע חגיגי שנערך כהוקרה לקריירה יוצאת הדופן של גאוס, דומה באופיה להוכחה הראשונה שלו, אולם היא מעמיקה את הטיפול הטופולוגי במשפט. על אף שבסופו של יום הטיעון הטופולוגי עדיין נותר רחוק מלהיות שלם, אלכסנדר אוסטרובסקי הראה ב-1920, לאור התפתחויות תקופתיות בטופולוגיה קבוצתית, שרעיונו של גאוס להתייחס לתחומים במישור המרוכב במקום להתמקד בעקומות ז'ורדן התוחמות אותם, כלומר בשונה ממה שעשה בהוכחתו הראשונה, הוא צעד בעל חשיבות משמעותית. אוסטרובסקי הראה שלמעשה, על בסיס זה ניתן להפיק הוכחה ריגורוזית לחלוטין למשפט, והעיר שהדבר מאשרר את קביעתו של גאוס ש-: "מהותית, תוכנו של הטיעון כולו משתייך לתאוריה אבסטרקטית של גדלים שהם בלתי תלויים במרחב", ואשר מושא המחקר שלה הוא "פעולות רציפות על גדלים קשירים". בהשוואה להוכחה שלו מ-1799, הפעם גאוס דן באופן זהיר יותר במקרה של שורשים מרובים והראה שכל השורשים נוצרים באופן שתיאר. בנוסף, הוא הקדיש את חלקו השני של המאמר לחישוב נומרי של פתרונותיהן של משוואות אלגבריות, תוך שהוא משפר את הטכניקות הידועות לפתרון משוואות טרינומיות. מאמציו להוכיח את המשפט היסודי לאורך השנים הסירו לחלוטין את הספקות לגבי תקפותם של המספרים המרוכבים.

גאוס תרם גם תרומה מסוימת לתאוריה של מבנים אלגבריים מתקדמים, וייתכן כי גילה בשנת 1819 את אלגברת הקווטרניונים, המיוחסת בדרך כלל לויליאם רואן המילטון (אשר גילה אותה ב-1843). באותה שנה הציג גאוס במאמר קצר בשם "סיבובי המרחב" את הסיבוב הכללי (של קו ישר דרך הראשית במרחב תלת-ממדי) בעזרת המטריצה האורתוגונלית:

2(bc+ad) & a^2+c^2-b^2-d^2 & 2(cd - ab)

2(bd-ac) & 2(cd+ab) & a^2+d^2-b^2-c^2 end{pmatrix}.

כאשר a,b,c,d הם רביעיית מספרים שמקיימים $a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\; +\; d^2\; =\; 1$. בדרך זו בנה גאוס שיטה לייצוג אלגברי של גאומטריית סיבובים תלת-ממדית. בהמשך המאמר ציין גאוס כי ההרכבה של שתי פעולות סיבוב כאלו (הכפלת המטריצות) מיוצגת על ידי מטריצה מאותו סוג, עם מקדמים $(a,b,c,d)cdot\; (alpha,beta,gamma,delta)\; =\; (A,B,C,D)$ כאשר A,B,C,D הם ביטויים ביליניאריים מסוימים באותיות האחרות. הביטוי להכפלה של שתי רביעיות מספרים שקול למעשה לכלל הכפל של הקווטרניונים. גאוס ציין בהמשך המאמר את תכונת האי-קומוטטיביות של כפל קווטרניונים, בחן תכונות אריתמטיות שלהם, ודן בקשר בין קווטרניונים למשולשים ספיריים. במקום אחר בכתביו הוא הבחין בהתנהגות "קווטרניונית" בזוגות סדורים של מספרים מרוכבים, האנלוגית להתנהגות "המרוכבת" של זוגות מספרים ממשיים כפי שבאה לביטוי בזהות דיופנטוס (בכך הקדים במידה מסוימת את בניית קיילי-דיקסון). הוא הראה שחוקי הכפל של הקווטרניונים צומחים מתוך חוקי הכפל של מספרים מרוכבים באמצעות הזהות הבאה:$(|u\_1|^2\; +\; |v\_1|^2)cdot\; (|u\_2|^2\; +\; |v\_2|^2)\; =\; (|u\_1u\_2\; -\; v\_1bar\; v\_2|)^2+(|u\_1v\_2\; +\; v\_1bar\; u\_2|)^2$, כאשר $u\_1,u\_2,v\_1,v\_2$ הם מספרים מרוכבים, והקו העליון מסמל את הצמוד המרוכב.

אלו היו רעיונות מהפכניים הן מבחינה קונספטואלית והן מבחינה גאומטרית-אינטואיטיבית, שכן אף על פי שכללי הכפל של הקווטרניונים היו מובלעים כבר בזהות סכום ארבעת הריבועים של אוילר מ-1748, גאוס הדגים את השימושיות שלהם בכך שעשה את הקישור הלא טריוויאלי בין אלגברה ארבע-ממדית לסיבובים תלת-ממדיים – זאת באמצעות פרמטריזציה של סיבובים דרך פונקציות טריגונומטריות של חצאי-זוויות הסיבוב (פרמטרי רודריגס). ייתכן כי גאוס התוודע בהדרגה לתיאור האלגברי של סיבובים מרחביים דרך עבודתו הנרחבת על טריגונומטריה כדורית ויישומיה באסטרונומיה, במסגרתה נאלץ לטפל בבעיות רבות המערבות סיבובים מרחביים. מבחינה קונספטואלית, מחקרים אלו, שלא התפרסמו בזמנו, מייצגים את ההתבוננות המעמיקה הראשונה בנושא העקביות של מערכות אלגבריות מורחבות.

גאוס הבין את חשיבותם של ממצאים אלה, וכתב במאמרו על הרחבת האריתמטיקה למספרים מרוכבים (מ-1831) כי "המחבר שמר לעצמו... את התשובה לשאלה מדוע היחסים בין הקואורדינטות שמציינות מרחבים מממד גבוה משניים לא ניתנים לטיפול כמותי במסגרת של אריתמטיקה אוניברסלית", והבטיח תשובה לשאלה במאמר עתידי, אך זה מעולם לא הופיע. במילים אחרות גאוס טען שלא תיתכן אלגברה (מעל הממשיים) של וקטורים תלת-ממדיים במובן השגור של המושג "אלגברה". הרמן הנקל () הוכיח לראשונה ב-1867 שכל מערכת מספרים היפר-מרוכבים לא יכולה לקיים את כל חוקי האלגברה, ובך אישש את הטענה של גאוס, שהוא עצמו מעולם לא סיפק לה הוכחה. בשל האופן המעורפל שבו ניסח גאוס את טענתו, היא הייתה נתונה לפרשנויות שונות מידי מתמטיקאים שבאו אחריו; מן ההקשר בו כתב הערה זאת - הרחבה שיטתית של האריתמטיקה ותכונותיה הבסיסיות אל המרוכבים - סבר ויירשטראס שתובנת המפתח של גאוס הייתה שכל מערכת מספרים תלת-ממדית (מספרים מהצורה $x+yi+zj$) צריכה לכלול גם מחלקי אפס ולכן לא יכולה לקיים את כל חוקי האלגברה. לעומתו הציע ריכרד דדקינד השערה מעט מורכבת יותר, לפיה הטיעון של גאוס התבסס על עבודתו הקודמת על חלוקת המעגל. עם כל זאת, הייחוס של גילוי הקווטרניונים לגאוס שנוי במחלוקת כי לא ברור עד כמה בשלות מבחינה מתמטית פורמלית היו תוצאות אלו שלו; הוא מעולם לא טען כי גילה את הקווטרניונים, ובוודאי הוא לא פיתח את הנושא והפיץ אותו באופן אפקטיבי כמו המילטון בספרו הארוך "קווטרניונים" (1863).

ה-Disquisitiones Arithmeticae של גאוס נחשב ליצירת מופת שכוננה את תורת המספרים המודרנית. גאוס הנהיג בה לראשונה את הסימון ≡ לקונגרואנציות והציג באופן שיטתי תוצאות קודמות בתורת המספרים באמצעות אריתמטיקה מודולרית, הוכיח את משפט ההדדיות הריבועית, יצר את תורת התבניות הריבועיות (שבאמצעותה הוכיח, כתוצאה אחת מני רבות, שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של לכל היותר 3 מספרים משולשיים, ואף קבע את מספר הדרכים שמספר כלשהו ניתן להצגה כזאת), ניסח את בעיית מספר המחלקות (Class number problem) – השערה מרחיקת לכת שהייתה לה השפעה רבה על התפתחות תורת המספרים, והציג את פתרון בעיית הבנייה בסרגל ובמחוגה של מצולעים משוכללים.

שמאל|210px|ממוזער|באמצעות התאוריה שלו על שורשי יחידה|שורשי היחידה, גאוס הראה שמצולע משוכלל בעל 17 צלעות ניתן לבנייה בסרגל ומחוגה.

ה-Disquisitiones Arithmeticae היה נקודת ההתחלה בעבור מתמטיקאים במאה ה-19 שהתמחו בתורת המספרים. הוא שימש כמקור בלתי נדלה של רעיונות מתמטיים, שחלקם הופיעו בו באופן מפורש. אחרים הופיעו בו בצורה בוסרית, ובישרו את הופעתם של רעיונות מתמטיים מתקדמים. ההתעמקות בספר בידי מתמטיקאים שונים הובילה לתאוריות מתמטיות שונות כמו תורת גלואה על פתרון משוואות אלגבריות, תאוריית האידיאלים של דדקינד, ויישומים מתמטיים שונים כמו סוגים של מבחני ראשוניות. כהדגמה של ההשפעה של מחקרים אריתמטיים על פיתוח תורת גלואה, נציין שגאוס הביא בספרו בנייה אלגברית מפורשת למצולע המשוכלל בעל ה-17 צלעות, המתקבלת מהצגת קוסינוס הזווית במצולע כזה על ידי סדרה של שורשים ריבועיים:

:

הדרך בה הגיע לתוצאה הזאת (שהוא תיאר בפרק השביעי של מחקרים אריתמטיים) מעידה על הבנה עמוקה של חבורת גלואה של הרחבות השדה הריבועיות, המקודדת את הקשרים המתמטיים הללו.

הפרק השביעי של מחקרים אריתמטיים כולל גם את אחת התוצאות המרחיקות לכת ביותר שלו; במאמר 358 הוא נתן חסם למספר הפתרונות לקונגרואנציה מסוימת ממעלה שלישית (בשפה מודרנית הוא מנה נקודות שלמות על עקום אליפטי), במה שנודע כמקרה הלא-טריוויאלי הראשון של משפט הסה וייל, אשר ניתן לפרש אותו גם כמקרה הלא-טריוויאלי הראשון של השערת רימן מעל שדות סופיים. אנדרה וייל ציין{{הערה|{{קישור כללי|כתובת=https://www.projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.bams/1183513798|תאריך=1948|הכותב=Andre Weil|כותרת=Numbers of solutions of equations in finite fields|תאריך_וידוא=2021-04-25|אתר=www.projecteuclid.org}}

|כיוון=שמאל}} כי תוצאה זו ביחד עם תוצאות נוספות בכתביו הלא מפורסמים של גאוס הובילה אותו לנסח את השערות וייל; במיוחד הערה 146 מיומנו של גאוס מכילה אלמנטים רעיוניים רבים של הגישה המודרנית לבעיות מסוג זה, ולכן היא נתפסת לעיתים קרובות כקדימון להתפתחות מרחיקת הלכת שעברה תורת המספרים במאה ה-20, במהלכה נוצרו הן התשתית לגאומטריה האלגברית המודרנית והן הכלים לתקוף בעיות אריתמטיות הנוגעות לספירת נקודות רציונליות על יריעות אלגבריות כלליות. גאוס הוכיח{{הערה|

{{קישור כללי|אתר=MathOverflow|כתובת=https://mathoverflow.net/questions/109330/did-gauss-know-dirichlets-class-number-formula-in-1801|כותרת=nt.number theory - Did Gauss know Dirichlet's class number formula in 1801?|תאריך_וידוא=2020-02-19}}}} גם את נוסחת מספר המחלקה הראשונה, בעבור שדות ריבועיים, זמן רב לפני פרסום הנוסחה בידי דיריכלה; את התוצאות הראשונות שלו בנוגע להערכות אסימפטוטיות של מספרי מחלקה הוא פרסם במאמרים 301-302 בפרק החמישי של ספרו, ומאוחר יותר חקר באופן לא גמור את השימוש בטורים דמויי פונקציית זטא כדי לחשב מספרי מחלקה. מיד לאחר מכן, במאמרים 303–304, הוא ניסח גם סדרה של השערות מרחיקות לכת (Gauss's class number problems), שחלקן ממשיכות להעסיק מתמטיקאים עד עצם היום הזה.

בהקשר זה של הפן האנליטי יותר של עבודתו בתורת המספרים, גאוס הכיר גם את הטכניקות המתמטיות הקריטיות להוכחת משפט ארבעת הריבועים של יעקובי: הזהות המציגה את החזקה הרביעית של פונקציית תטא כטור למברט, אשר מהווה למעשה את חלק הארי בהוכחת המשפט (שכן ממנה ניתן לדלות מידע אריתמטי על פונקציית סכום הריבועים $r\_4(n)$), מופיעה באחד מכתביו הלא מפורסמים על פונקציות אליפטיות, כשלצידה מופיעה הערה על הצגת מספר כסכום של ארבעה ריבועים. המשפט הזה זכור בהיסטוריה של תורת המספרים כדוגמה הראשונה של שימוש בתיאוריה של פונקציות אליפטיות להוכחת תוצאה בתורת המספרים. במקרה זה המחלוקת אינה האם הוא הכיר את טכניקות ההוכחה של המשפט, אלא האם הוא עשה את הדדוקציה הספציפית של הנוסחה המפורשת של יעקובי מהזהויות שגזר (הנוסחה של יעקובי לא מופיעה בכתביו באופן מפורש), אף על פי שזה סביר למדי, שכן זו נובעת בנקל מעבודתו.

אחד החלקים העמוקים והטכניים ביותר בכל "מחקרים אריתמטיים" הוא החלק שבו בונה גאוס את חוק ההרכבה של תבניות ריבועיות בינאריות – אותו הוא מציג במאמרים 234–244 של הפרק החמישי של ספרו. "הרכבה" של תבניות ריבועיות בינאריות היא פעולה מתמטית שמקבלת שתי תבניות ריבועיות בינאריות $f\_1,f\_2$ ומחזירה תבנית שלישית כזאת $f\_3=\; f\_1circ\; f\_2$ באופן כזה שאוסף המספרים המיוצגים על ידי התבנית $f\_3$ (כתבנית מעל השלמים) מורכב ממכפלות כל זוגות השלמים (n,m) כאשר n הוא מספר שמיוצג על ידי $f\_1$ ו-m מיוצג על ידי $f\_2$. למשל, ההרכבה של התבניות $4u^2\; +\; 3uv\; +\; 5v^2$ והתבנית $3r^2\; +\; rs\; +\; 6s^2$ היא התבנית $2x^2\; +\; xy\; +\; 9y^2$, כאשר x ו-y מחושבים כך: $x\; =\; ur-3us-2vr-3vs,\; y\; =\; ur\; +\; us\; +\; vr\; -\; vs$. גאוס הוכיח שהרכבה כזאת תמיד ניתנת לביצוע: תחילה הראה שניתן תמיד להרכיב תבניות ריבועיות בינאריות מאותה דיסקרימיננטה D, ולאחר מכן הרחיב את הגדרת חוק ההרכבה, באופן המאפשר להרכיב אף תבניות לא פרימיטיביות ובעלות דיסקרימיננטה שונה. תהליך הבנייה המדויק של פעולת ההרכבה - במסגרתו מראה גאוס כי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית - חשף מבנה אריתמטי פתלתל העומד ביסוד תורת התבניות הריבועיות הבינאריות, ולמעשה הדגים שאוסף מחלקות השקילות של תבניות ריבועיות בינאריות מדיסקרימיננטה D מהווה חבורה אבלית סופית ביחס לפעולת ההרכבה; חבורה זו נקראה בהמשך המאה ה-19 בשם "חבורת המחלקות" $mathbb\{Cl\}(D)$. חוק ההרכבה שלו עמד בליבה של התאוריה החישובית של תבניות ריבועיות במשך מאתיים שנה, וההכללה הראשונה שלו לתבניות מסדר שלישי ורביעי ניתנה בסדרת מאמרים מ-2004 של זוכה מדליית פילדס מנג'ול בהרגבה.

ב-1816, ככל הנראה זמן קצר לאחר שאולברס ניסה לעודדו להתחרות על פרס שהציעה האקדמיה הצרפתית על הוכחת המשפט האחרון של פרמה, גאוס הוכיח את המקרים n = 3 ו-n = 5 של המשפט. גאוס פיתח הוכחה אלטרנטיבית אלגנטית למקרה n = 3 של המשפט האחרון, שהייתה בהירה יותר מההוכחה שניתנה על ידי אוילר. באמצעות פיתוח שיטתי של תכונות השדה הציקלוטומי השלישי $Q(zeta\_3)$ (כאשר $zeta\_3\; =\; e^\{2pi\; i/3\}$) ושיטת הנסיגה האינסופית של אוילר ופרמה, הוא הוכיח את אי הפתירות של המשוואה $x^3\; +\; y^3\; +\; z^3\; =\; 0$ במספרים שלמים מרוכבים; אף על פי שהתוצאה שלו הייתה כללית יותר, ההוכחה נתגלתה כברורה ופשוטה יותר מאשר במקרה הממשי. אף על פי שההוכחה שלו מובילה לאסטרטגיה שמצליחה בעבור ערכים אחרים של n, הוא מעולם לא העסיק את עצמו עם המשפט באופן שיטתי משום שלא החשיב את ההתמקדות בו למועילה במיוחד לעתיד ענף תורת המספרים, וכתוצאה בחר לא לפרסם את הוכחותיו למקרים אלו. מנקודת מבט עכשווית, ניתן לקשור הוכחותיו אלו עם ניסיונותיו למצוא חוקי הדדיות מסדרים גבוהים יותר, משום ששני הנושאים מטופלים בבהירות רבה יותר דרך המסגרת האלגברית המורחבת של שדות ציקלוטומיים. ואכן, באותו מקום בכתביו הוא זיהה במפורש כמה תכונות חשובות של איברים בשדות ציקלוטומיים מסדר ראשוני $p$, כמו ההגדרה של הנורמה האלגברית של איבר בשדה כזה (כפי שניתנה מאוחר יותר על ידי ארנסט קומר{{הערה|ההגדרה הכללית היא מכפלת האיבר בכל האיברים הצמודים לו: $N(f(alpha))\; =\; f(alpha)f(alpha^2)cdots\; f(alpha^\{p-1\})$, כאשר $alpha^p\; =\; 1$ ו-$f(alpha)$ היא ביטוי פולינומי ב-$alpha$ המייצג איבר בשדה $Q[alpha]$. באחד מכתביו הלא מפורסמים של גאוס מופיעה התייחסות מפורטת לנורמות של איברים בשדה ציקלוטומי מסדר $p\; =\; 5$.}}), והעובדה שכל היחידות הציקלוטומיות מתקבלות כמכפלות של מספרים מהצורה $(zeta^\{alpha\}\; -\; zeta^\{beta\})/(zeta^\{gamma\}-zeta^\{delta\})$ (כאשר $zeta^p\; =\; 1,zetane\; 1$).

נקודות ראויות לציון אחרות בעבודתו של גאוס בתורת המספרים כוללות את הפרק השמיני הלא מפורסם של מחקרים אריתמטיים (שגאוס לא השלימו), שתוצריו המובהקים הם תאוריה שיטתית של המבנה של שדות סופיים, והגילוי של ההוכחה השביעית והשמינית שלו לחוק ההדדיות הריבועית. בחיבור זה תקף גאוס את הבעיה של קונגרואנציות ממעלה שרירותית מודולו מספר ראשוני $p$ וביסס כלים חשובים כדי לגשת לבעיות מהסוג הזה. בין היתר, גאוס חוקר את המבנה של שדות סופיים דרך אוטומורפיזם פרובניוס, ונעזר בנוסחת ההיפוך של מביוס כדי "לספור" את מספר הפולינומים האי-פריקים ממעלה n מעל שדה סופי (GF(p מודולו p. בחלקו האחרון של החיבור גאוס דן בהכללות אפשריות של חקירות אלו, ומוכיח גרסה מוקדמת של למת הנזל - תוצאה יסודית המאפשרת להרים תופעות מודולריות ביחס למספר ראשוני p לכדי חזקות הולכות וגדלות $p^k$ של אותו ראשוני. נקודת המבט בה נקט בחיבור קרובה לזו שננקטה מאוחר יותר על ידי אווריסט גלואה וריכרד דדקינד, כך שפרסומיהם "ייתרו" חיבור זה, אולם הוא עדיין נותר חשוב לצורך התחקות אחר שורשי הרעיונות המתמטיים של גאוס. ישנן ראיות שגאוס היה מודע חלקית לתפקיד הטכני המרכזי של למת הנזל בהתרת בעיות אריתמטיות מודרניות, כפי שעולה מהערות אחדות ביומנו או מן המניע שלו להוכחת למת גאוס על פולינומים. בתחילת המאה ה-20 הציג קורט הנזל את שדה המספרים ה-p-אדיים ובכך שפך אור על חקירות אלו, והציבן במסגרת מושגית שהפכה עד מהרה לאחד הכלים החשובים בתורת המספרים המודרנית.

ממוזער|250px|מספרים שלמים של גאוס כנקודות סריג במישור המרוכב.

מבין עבודותיו המפורסמות בתורת המספרים, מאמריו שהוזכרו מקודם על חוק ההדדיות מסדר דו-ריבועי שניים בחשיבותם רק ל-"מחקרים אריתמטיים". בכך שהרחיב באופן שיטתי את מושא המחקר של תורת המספרים לשדה המרוכבים, גאוס עשה את הקפיצה הקונספטואלית המשמעותית שאפשרה את כינון תורת המספרים האלגברית. מאמריו אלו הנהיגו לראשונה את השימוש בחוג השלמים של גאוס (כולל את השימוש בראשוניי גאוס) וטיפלו בתכונות האריתמטיות שלו - תחת ההרחבה הזאת, מספרים שהם ראשוניים באריתמטיקה הרגילה כבר אינם כאלה יותר בחוג גאוס, שכן למשל: $5\; =\; (1\; +\; 2i)(1\; -\; 2i)$ כך ש-5 אינו ראשוני בחוג זה.

גאוס הראה הלכה למעשה כי חוג השלמים המרוכבים מהווה תחום פריקות יחידה; הווה אומר, כל מספר בחוג זה ניתן לפירוק לראשוני גאוס באופן יחידי, באופן אנלוגי למשפט היסודי של האריתמטיקה. לאחר מכן הוא מבסס את חשיבות חוג זה לחקר חוקי הדדיות מסדרים גבוהים, תוך הכללת רבים ממונחי המפתח של תורת המספרים האלמנטרית; למשל, הוא הוכיח את המשפטים האנלוגיים למשפט הקטן של פרמה וללמה של גאוס. במאמר גאוס ניסח את חוק ההדדיות מסדר דו-ריבועי בצורה הבאה:

עבור שני מספרים ראשוניים גאוסיאניים (כלומר החוק מנוסח למספרים מרוכבים) $pi$ ו-$sigma$ מתקיים:

$(frac\{pi\}\{sigma\})\_4\; (frac\{sigma\}\{pi\})\_4\; =\; (-1)^$

כאשר $N(a\; +\; bi)\; =\; a^2\; +\; b^2$ הוא ריבוע הנורמה של המספר המרוכב, ו-$(frac\{pi\}\{sigma\})\_4$ הוא סימן שארית החזקה

מסדר רביעי של $pi$ ביחס ל-$sigma$, מעין הכללה של סימן לז'נדר שערכיה האפשריים הם שורשי יחידה מסדר רביעי. לאחר הניסוח של חוק ההדדיות מסדר דו-ריבועי, גאוס מוכיח במאמרו כמה מקרים פרטיים שלו; לדוגמה, בראשון מבין המאמרים הללו, הוא הוכיח את ההשערה של אוילר שהמספר 2 הוא שארית דו-ריבועית של מספר ראשוני (p ≡ 1 (mod 4 אם ורק אם p = a² + 64b². באשר להוכחה מלאה של החוק, לא ברור כיצד הוכיח אותו לראשונה; גאוס טען כי מצא את ההוכחות למשפטים הכלליים של הדדיות ממעלה שלישית ורביעית בסביבות 1814, לאחר מאמצים רבים, אך מאמריו מ-1828 ו-1832 לא הכילו הוכחה מלאה. בפרסום שלו (מ-1818) שמכיל את ההוכחה החמישית והשישית שלו לחוק ההדדיות הריבועית, הוא טען שהטכניקות של ההוכחות האלו (סכומי גאוס ולמת גאוס) יכולות להיות מיושמות להוכחת משפטי הדדיות כלליים יותר. הוכחה ציקלוטומית המבוססת על סכומי גאוס ממעלה רביעית אכן נמצאה בכתביו הלא מפורסמים; אף על פי כן, ייתכן כי היא נכתבה לאחר פרסום ההוכחה של אייזנשטיין, אשר התבססה על שיטות דומות. כתביו הלא מפורסמים כן מכילים תרומה מקורית אחת לחוק ההדדיות ממעלה רביעית; בעוד שמרבית ההוכחות שניתנו לחוק החל מ-1850 ועד היום הן פשוט וריאציות על ההוכחות שאייזנשטיין נתן במקור, גאוס הותיר אחריו הוכחה גאומטרית השונה בטיבה מזו שאייזנשטיין נתן. הוכחתו של גאוס התבססה על טכניקות מקוריות ביותר המערבות ספירת נקודות סריג בתוך צורות גאומטריות מסוימות, ולפיכך היא קרובה יותר מבחינה רעיונית לשיטות מתחום הגאומטריה של מספרים מאשר להוכחות האנליטיות של אייזנשטיין{{הערה|{{קישור כללי|כותרת=Tomio Kubota - Foundations of Class Field Theory.pdf|כתובת=https://www.docdroid.net/6V4rZJg/tomio-kubota-foundations-of-class-field-theory-pdf|שפה=en|תאריך_וידוא=2021-04-25|אתר=www.docdroid.net}}"A foundation of class field theory applying properties of spatial figures", Tomio Kubota (1995)|כיוון=שמאל}}.

ללא קשר לזהות בעל הקרדיט על ההוכחה הראשונה, המאמרים הללו זכורים בשל העושר והעומק של החקירות האריתמטיות שבאו בעקבותיהם – ההצגה של חוג השלמים הגאוסיאנים והטיפול המפורט בתכונות האריתמטיות שלו הציבה את הנושא בחזית המחקר על תורת המספרים וחוקי הדדיות, ובתוך מספר שנים שחלפו מאז פרסום המאמר הופיעו הוכחות שונות של חוקי ההדדיות מסדר שלישי ורביעי, שפורסמו על ידי אייזנשטיין, יעקובי, ודיריכלה. המאמר זכור גם כנקודת ציון מבחינת האופן שבו הוא שינה את תפיסתם של מתמטיקאים את המספרים המרוכבים, שעד אז נחשבו ל"פיקציות מטאפיזיות" בלבד; הוא משופע בדוגמאות ל"טענות אריתמטיות שמנצנצות בבהירות רבה יותר במסגרת האריתמטיקה המורחבת" (במילותיו של גאוס) ומכיל את אחד השימושים הרשמיים הראשונים בוויזואליזציה של המספרים המרוכבים כנקודות במישור המרוכב (ככל הנראה גאוס השתמש בתיאור המספרים המרוכבים כנקודות במישור עוד לפני עבודת הדוקטורט שלו, אך פרסמו רק ב-1831).

גם עבודתו על חוק ההדדיות מסדר שלישי ראויה לציון, ובהערה למאמרו על חוג השלמים המרוכבים הוא ציין כי את המשפט ניתן להוכיח בדומה להדדיות ממעלה רביעית, באמצעות פיתוח האריתמטיקה בחוג השלמים של אייזנשטיין. הוכחה לחוק ההדדיות ממעלה שלישית נמצאה בכתביו; היא מבוססת על ההוכחה השישית שלו לחוק ההדדיות הריבועית, ומכילה כלמה את הטענה שחוג השלמים של אייזנשטיין הוא אוקלידי ולכן גם תחום פריקות יחידה. בעת שניסה לבסס תשתית אריתמטית לחוק ההדדיות מסדר שלישי, גאוס החל לחקור גם תבניות מעוקבות, ובמספר הערות מ-1808 הוא חקר את אוסף הפתרונות השלמים של המשוואה הדיופנטית $x^3\; +\; ny^3\; +\; n^2z^3\; -\; 3nxyz\; =\; 1$, ואפיין את כל המספרים הראשוניים המיוצגים על ידי התבנית הזאת כאלו שעבורם n הוא שארית מעוקבת. אגף שמאל הוא הנורמה של המספר $x+\; nu\; y\; +\; nu^2z$ בשדה המעוקב הנוצר על ידי סיפוח $nu\; =\; n^\{1/3\}$, כך שמשמעות הפתרון היא למעשה איתור ה"יחידות" – איברים מנורמה 1, בשדה הנתון. בכתביו נמצאה טבלה של הפתרונות היסודיים למשוואה זאת עבור ערכים רבים של $n$ בין 2 ל-37; בעיית חישוב הפתרון היסודי של משוואה זאת (שניתן לחשוב עליה כעל האנלוג המעוקב של משוואת פל) היא סבוכה ומוליכה למספרים גדולים כבר עבור ערכים קטנים של $n$, כך שלא ברור כיצד גאוס בנה טבלה זו. בכל אופן, הפתירות של משוואה דיופנטית זאת כמו גם העובדה שכל הפתרונות שלה מתקבלים כחזקות של פתרון יסודי יחיד הם מקרה פרטי של משפט היחידות של דיריכלה (שכאמור לעיל הגיע לממצאיו באופן בלתי תלוי).

ימין|270px|ממוזער|אחת הבעיות שתעתעו בגאוס במהלך חייו הייתה נושא התפלגותם של המספרים ראשוניים. גאוס חיפש חוקים המושלים במופעים של המספרים הראשוניים "בגדול", ולא במיקום המספר הראשוני הבא.

לכמה מההשערות שלו בנוגע לתורת המספרים הייתה השפעה רבה, אף שברוב המקרים הוא לא הניח יסודות מוצקים כיצד להוכיח אותן. ההשערה של גאוס את משפט המספרים הראשוניים, אותו הוא גילה על בסיס חישובים מספריים אמפיריים מקיפים (גאוס ערך טבלה של כל המספרים הראשוניים עד ל-3 מיליון), נתנה הבנה טובה כיצד מתפלגים המספרים הראשוניים ברמת המקרו. למעשה, הוא שיער יותר מכך; בכתב לא מפורסם שלו תחת הכותרת "חוקים אסימפטוטיים של אריתמטיקה" הוא העלה על הכתב כמה תוצאות שמכלילות את משפט המספרים הראשוניים; הוא שיער שבאופן אסימפטוטי, מספר המספרים שקטנים מ-$a$ להם 2 גורמים ראשוניים הוא: $frac$, וכן שיער השערה כללית יותר לגבי ההתפלגות האסימפטוטית של מספרים k-כמעט ראשוניים. את התוצאות הללו הוא גזר תחת ההנחה שמשפט המספרים הראשוניים נכון; על סמך הנחה זו הוא חישב באמצעות שיטות מתוחכמות{{הערה|{{קישור כללי|אתר=Mathematics Stack Exchange|כתובת=https://math.stackexchange.com/questions/2587733/what-was-the-heuristics-behind-gausss-guess-on-the-asymptotic-distribution-of-k|כותרת=analytic number theory - What was the heuristics behind Gauss's guess on the asymptotic distribution of k-almost primes?|תאריך_וידוא=2020-02-19}}|כיוון=שמאל}} את חוקי ההתפלגות של המספרים הכמעט ראשוניים (ב-1901 בנה אדמונד לנדאו את המתודולוגיה שלו מחדש). מאוחר יותר הוא עידן את ההשערה שלו על צפיפות המספרים הראשוניים וטען כי $1/log\; x$ היא תדירות ההופעה של המספרים הראשוניים "בסביבות" המספר x ולאו דווקא התדירות הממוצעת בתוך קבוצת המספרים הטבעיים מ-1 עד x, מה שמוביל ישירות לקירוב של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי $operatorname\{Li\}(x)\; =\; int\_2^x\; frac\{1\}\{ln\; t\}\; dt$ (מכתב לאנקה, 1849).

שמאל|300px|ממוזער|תרשים של גאוס (משנת 1802) של ממדיהם היחסיים של מסלוליהם של קרס (כוכב לכת ננסי)|קרס ופאלאס.

פעילותו הראשונה של גאוס בתחום האסטרונומיה נעשתה בשנת 1799, במסגרת הסיוע שהעניק לקרטוגרף הפרוסי קרל לודוויג פון לקוק אשר הוביל באותה עת מיפוי טריגונומטרי של אזור וסטפאליה, מיפוי במהלכו נעשה שימוש נרחב בשיטת קביעת המיקום הגאוגרפי בעזרת מיקומם הנצפה של גרמי השמיים. כדי להגביר את הדיוק של המיפוי הגאודזי, גאוס פיתח אוסף נוסחאות מדויקות מהן ניתן לקבוע את הפרלקסה של הירח כפי שהיא ניכרת לצופה בכדור הארץ עבור כל רגע ומיקום גאוצנטרי של הצופה הארצי, בהינתן רק הפרטים העדכניים של מיקום הירח. גאוס דיווח על ממצאיו אלו במכתבו ללקוק, שציין בדיווחיו ש"חישוביו של גאוס היו לו לעזר רב בחלק האסטרונומי של המיפוי", ועודדו ליצור קשר עם פרנץ פון זאך שניהל באותו זמן את מצפה הכוכבים בגותה.

ניסיונו הראשוני של גאוס להיכנס לעולם האסטרונומיה היה בהתאם למסורת המאה ה-18, כך שהוא ניסה לנסח תאוריה של תנועת הירח – הבעיה המרכזית במכניקה השמיימית של אותה עת – שתהיה יעילה ומדויקת יותר מהתאוריות הקודמות. ניסיונו זה נעשה בעקבות בעיית הפרס שהציעה האקדמיה בפריז ב-1800, שדרשה חישוב מדויק יותר של טבלאות נתוני מיקום ירחיים על בסיס תאוריה אמינה יותר. עבודתו בתחום, חיבור לא גמור בעל חמישה פרקים תחת הכותרת "תאוריה של תנועת הירח", פורסמה רק לאחר מותו. המשוואות היסודיות שהוא גזר עשו שימוש בקו האורך הירחי כמשתנה הבלתי תלוי (ולא בזמן), ולפיכך הן דומות לאלו של קלרו וד'אלמבר, וממשיכות את קו המחשבה שלהן. התאוריה שלו מתיישבת בהיבטים רבים עם זאת של פלאנה מ-1832; חישוביו של גאוס על הפרטורבציות הירחיות הרוחביות (הפלקטואציות בנטייה של מסלול הירח) תאמו את התיאור של פלאנה במדויק. בו בזמן שגאוס עמל על חיבורו זה, הכרך השלישי של ספרו של לפלס "מכניקה שמיימית", שהעפיל ברוחב יריעתו בהרבה על חיבורו הבוסרי, כבר הופיע, וכן סדרת מאמרים של אסטרונומים אחרים ששחזרו רבים מהפרטים של התאוריה שלו שכנעו אותו לא להמשיך את כתיבת חיבורו. הידיעה החדשותית מ-1801 בדבר העצם השמיימי החדש שנתגלה (האסטרואיד קרס) סיפקה לו הזדמנות פז שונה בטיבה להטביע את חותמו בעולם האסטרונומי, מה שהניע אותו לשנות את מוקד מחקרו.

עבודתו של גאוס על אסטרונומיה חישובית, "תאוריה של תנועת הגופים השמימיים בחתכי חרוט סביב השמש", עוסקת בקביעת מסלולם של גרמי שמיים (אסטרואידים, שביטים וכו') משלוש תצפיות גאוצנטריות: בהיעדר יכולת למדוד ישירות את המרחק אל הגרם השמיימי, זהו מספר התצפיות המינימלי המאפשר חישוב של ששת אלמנטי המסלול שלו. בספר גאוס מפתח את האלגוריתם השלם הראשון לחיזוי מסלול של עצם שמיימי משלוש תצפיות גאוצנטריות; הוא מכיל פתרון יעיל מבחינה חישובית לבעיית למברט {{הערה|An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, p. 295 {{צ-ספר|מו"ל=AIAA|שם=An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics|שפה=en|שנת הוצאה=1999|קישור=https://books.google.co.il/books?id=OjH7aVhiGdcC&pg=PA295&lpg=PA295&dq=gauss%2527s+theoria+motus&source=bl&ots=FgwtPlfnvh&sig=hOSXwabCWMVRxz9rlVxRROWH3UU&hl=iw&sa=X&ved=0ahUKEwiYvZW_mIjcAhUSbVAKHRYICaE4HhDoAQgwMAI#v=onepage&q=gauss's%2520theoria%2520motus&f=false|מחבר=Richard H. Battin}}|כיוון=שמאל}} באסטרודינמיקה, והוא מפורסם בשל האינטגרציה של שיטות מתמטיות שונות בו: שיטות סטטיסטיות (כולל ההצגה של "שיטת הריבועים הפחותים") לעידון איטרטיבי של המסלול המחושב, גאומטריות (בעיקר מטריגונומטריה כדורית) ואסטרונומיות שונות. הספר זכה לפרסום רב גם בשל הצלחתו במישור הדידקטי – בעבור קוראיו הוא שימש כמעין מדריך שיטתי לאסטרונומיה עכשווית, והציג תהליך מתמטי ברור ונוח לשימוש ידני – ומסיבות אלו בדיוק היה נגיש לא רק למיטב האסטרונומים, והפך לרפרנס מרכזי בכמה העשורים שלאחר מכן. עוד בטרם פרסום הספר, גאוס נעזר בשיטות דומות כדי לסייע באיתור כל שלושת האסטרואידים הבאים שנתגלו: פאלאס, יונו, ווסטה. ההצלחה החוזרת ונשנית הדגימה את יכולות השיטה שלו.

הישג משמעותי לא פחות של גאוס באסטרונומיה היה עבודתו על חישוב מסלולו של פאלאס, שחולף בסמוך לצדק ולכן חווה פרטורבציות משמעותיות, וכמו כן חווה הפרעות כבידתיות משמעותיות גם משבתאי, כך שמסלולו רחוק מלהיות קפלרי (אליפטי). למעשה, בשנים 1810–1818 התמה הדומיננטית ביותר של עבודתו האסטרונומית הייתה חישוב מדויק ככל האפשר של מסלולו הלא-סדיר של פאלאס. בכתביו הלא מפורסמים ניתן למצוא קטעים מתמטיים ארוכים המתארים את הטכניקות שפיתח. אחד הכתבים האלה הוא מאמרו הארוך בצרפתית "הצגה של שיטה חדשנית לחישוב הפרעות פלנטריות יחד עם יישום לחישוב כמותי של הפרעות התנועה של פאלאס"

{{הערה|Gauss, C. F. Exposition D'une Nouvelle Methode

De Calculer Les Perturbations Planetaires

Avec L'application Au Calcul Numerique

Des Perturbations Du Mouvement De Pallas. Werke 7: 439–472|כיוון=שמאל}}, שהוא חיבר ב-1812 לתחרות של האקדמיה הצרפתית למדעים, ושלא פורסם בימי חייו. לאחר מאמצים אדירים, גאוס ויתר על השלמת המשימה הזאת, כשהגיע למסקנה שהיא גוזלת חלק ניכר מזמנו. מה שמנע ממנו להשיג הסבר מספק לתנועתו של פאלאס היה, לדעת אסטרונומים מודרניים, שהוא ערך את חישוביו עד לסדר שלישי בלבד, במקום להמשיך את הפיתוח עד לסדר חמישי. העורך של עבודתו האסטרונומית של גאוס, האסטרונום Martin Brendel, ציין ב-1906 שבעבודתו על פאלאס "גאוס כמעט השלים לבדו משימה אדירה, שאפילו כיום אסטרונומים נרתעים מאוד מלגשת אליה". בימינו בעיות כאלו נפתרות כמעט באופן בלעדי על ידי סימולציות ממוחשבות מורכבות המדמות את השינוי במסלולי אסטרואידים כתוצאה מהאפקט הכבידתי של כוכבי הלכת המסיביים במערכת השמש.

עם זאת, במאמרו מ-1818 על חישוב הפרטורבציות של פאלאס, "קביעה של המשיכה שכוכב לכת יפעיל בנקודה שרירותית נתונה, אם המסה שלו הייתה מפולגת באופן רציף לאורך מסלולו ובפרופורציה לזמן שלוקח לו לעבור את חלקי מסלולו", גאוס פיתח כלי מתמטי שנקרא שיטת הטבעת האליפטית (elliptic ring method) המאפשר לחשב בסדר ראשון את הפרטורבציה הממוצעת בפרקי זמן ארוכים (פרטורבציה סקולרית), שצדק יוצר במסלולו של פאלאס. המאמר הזה הוא גם המאמר היחיד שפורסם בחייו בו גאוס פרסם חלק מעבודתו על הממוצע האריתמטי גאומטרי. לקראת סוף המאה ה-19, האסטרונום האמריקני ג'ורג' ויליאם היל עיבד את "שיטת המיצוע" של גאוס כך שתתאים יותר לשימוש אסטרונומי, וב-1881 יישם אותה ישירות לבעיית ההפרעות הסקולריות שיוצר כוכב הלכת נוגה במסלולו של כוכב חמה.

בניגוד להישגים כבירים אלו, שאר עבודתו האסטרונומית של גאוס מייצג, לדעת בני זמנו, מה שהיה בעיקר "בזבוז" של כישרונו; עבודתו האחרת עסקה בעיקר באסטרונומיה תצפיתית ובהיבטים מעשיים שונים כגון שכלול המכשור האסטרונומי של מצפה הכוכבים בגטינגן, תחומים שבהם גאוניותו המתמטית באה פחות לידי ביטוי. עם זאת, גם מחקרים מעשיים אלו הניבו תרומות תאורטיות אחדות לאסטרונומיה, שכללו חישובים של טבלאות אברציה ונוטציה (ב-1808). מ-1819 ואילך פצח גאוס במחקר שיטתי של התנועה הכוללת של מערכת השמש במרחב הגלקטי; דרך התכתבויותיו הענפות הוא היה בין הראשונים לפתח שיטות להעריך את התנועה השמשית במונחי התנועות העצמיות של כוכבי השבת המרוחקים יותר.

ממוזער|340px|שמאל|כשחקר את פעולת חבורה|פעולת [[החבורה המודולרית על חצי המישור העליון, גאוס זיהה במפורש את המושג החשוב של תחום יסודי של חבורה זו, אשר ניתן לרצף בעזרת עותקיו את כל חצי המישור העליון. כתביו מכילים אף איור שמציג ריצוף של דיסק היחידה על ידי רשת של משולשים "עקומים" (האיור כאן מתייחס למודל שונה, זה של חצי המישור העליון).]]

אחד הגילויים העצמאים הראשונים של גאוס היה מושג הממוצע האריתמטי-גאומטרי (AGM) של שני מספרים ממשיים חיוביים; המחקר השיטתי שערך על הממוצע הזה הוביל אותו לגלות עולם מתמטי עשיר אשר (במילותיו של גאוס עצמו) "כמות האמיתות שניתן לגלות בו גדולה לאין שיעור מאשר זו שהפונקציות הרגילות אוצרות בחובן". הוא גילה את הקשר שלו לאינטגרלים אליפטיים בשנים 1798–1799, דרך הטרנספורמציה שגילה באופן עצמאי הנקראת טרנספורמציית לנדן , ובהערה מיומנו גילה את הקשר שלו ליחס המכונה כיום "קבוע גאוס", תוצאה שהוא התנבא שהיא "בוודאות תפתח תחום חדש לגמרי של אנליזה". כתביו על אנליזה מתמטית מכילים עושר אדיר של תגליות מתמטיות, ורבות מן התוצאות במאמרים אלה הן בין התוצאות מרחיקות הראות ביותר של גאוס, אשר הייתה להן השפעה לא מבוטלת על התפתחות המתמטיקה בשלהי המאה ה-19, כאשר מתמטיקאים אחרים נתוודעו להישגיו דרך הפרסום ההדרגתי של כתביו הלא מפורסמים.

כתבים אלו הראו שעוד לפני סיום העשור הראשון של המאה ה-19, גאוס הכיר רבות מהתוצאות שהופיעו לראשונה בחיבורו המהפכני של קרל גוסטב יעקב יעקובי מ-1829 "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum". חקירתו השיטתית את עקומת הלמניסקטה הובילה אותו לגילוי של פונקציות אליפטיות, אשר תכונתן היסודית היא שהן מהוות פונקציות בעלות שני מחזורים בלתי תלויים $omega\_1,omega\_2$ מעל R. בהקשר זה, הוא רשם גם את הדוגמאות הראשונות לטורי אייזנשטיין, שלהם קשר טבעי לפונקציות אליפטיות. במסגרת תוצאה אחרת שלו מאותן שנים, הוא גילה את ההצגה המפורסמת של ויירשטראס של משתנה האינטגרציה x שבאינטגרלים אליפטיים מגנוס 1 כמנה של שתי הפונקציות השלמות שכונו על ידי ויירשטראס $Al\_1(u),Al\_0(u)$ (כאשר u הוא ערך האינטגרל האליפטי){{הערה|הסימון "Al" לפונקציות הללו הוא קיצור של אותיות שמו של אבל (Abel), והוא נבחר על ידי ויירשטראס כהוקרה לתוצאה חשובה של אבל אשר היוותה מקור השראה עבורו לגילוי ההצגה $x\; =\; frac\{\; Al\_1(u)\}\{Al\_0(u)\}$; הצגה זאת היא בעלת חשיבות רבה בבעיית ההיפוך של אינטגרלים אליפטיים. ראו: }}. משפט המספרים המחומשים של אוילר, יחד עם חקירותיו האחרות שהוזכרו, הובילו אותו לגילוי של תוצאות רבות על פונקציות תטא, וב-1808 ל"רגע שיא" שבו גילה והוכיח את זהות המכפלה המשולשת של יעקובי - שכוללת את המשפט של אוילר כמקרה פרטי ושממנה נובעות תוצאות רבות על פונקציות תטא. כמו כן, בכתביו מ-1808 מופיעות המשוואות המתארות טרנספורמציות מודולריות מסדר 3,5,7 של פונקציות אליפטיות.

כמה קטעים מתמטיים בכתבים אלה מעידים שגאוס הכיר היטב את היסודות של התאוריה שתושלם בסופו של דבר בעבודתם של פליקס קליין ו-Robert Fricke על פונקציות מודולריות. אין זה מקרי, שכן קליין ו-Fricke היו מעורבים מאוד בפרסום הכתבים של גאוס וחקרו את התוצאות של גאוס מקרוב. למשל, קליין מציין בספרו על התפתחות המתמטיקה במאה ה-19 כי האינווריאנט j של עקומים אליפטיים (הקבוע האבסולוטי של קליין; זוהי תבנית מודולרית ממשקל אפס), מן המושגים המרכזיים בתאוריה של תבניות אלו, הוצג לראשונה על ידי גאוס, אשר כינה אותו "Summatorische Function". גאוס הציגו בהקשר של מחקרו על הממוצע האריתמטי-גאומטרי של זוג מספרים מרוכבים – נושא שגאוס החשיבו כדרך הטבעית ביותר להתוודע ל"תמונה המודולרית" – ושבמסגרתו ביסס תוצאה עמוקה ביותר על היצירה של אינסוף הערכים השונים של הממוצע משני ערכים "פשוטים ביותר" שלו. כתביו מכילים אף מספר איורים שמראים כי הוא היה מודע לצד הגאומטרי של התאוריה; אחת התוצאות המשמעותיות שלו, שמתקשרת גם לעבודתם של מתמטיקאים מאוחרים יותר על מודלים של גאומטריה לא אוקלידית, היא הגילוי|כיוון=שמאל}} של ריצוף של מודל הדיסק של פואנקרה על ידי משולשים "שווי צלעות" עם זוויות שכולן שוות $pi/4$.

גאוס בחייו פרסם כמעט מאום ממה שהשיג על תורת הפונקציות האליפטיות, אולם הוא כן פרסם מאמר שחשף מעט מהרעיונות שלו בנוגע לעצם מתמטי קשור – הפונקציה ההיפרגאומטרית. במאמר "חקירות כלליות חדשות על הטור האינסופי" מ-1813, הוא סיפק את הטיפול השיטתי הראשון בפונקציה ההיפרגאומטרית $F(alpha,beta,gamma,x)$ הכללית, והראה שרבות מהפונקציות המוכרות באותה עת, כדוגמת הפונקציות האלמנטריות ופונקציות מיוחדות מסוימות, הן מקרה פרטי של הפונקציה ההיפרגאומטרית. בכך הוא המשיך את התוכנית האנליטית השיטתית של אוילר ויוהאן פרידריך פפאף, שפרסמו לפניו מחקרים (מצומצמים למדי) שעסקו בטור ההיפרגאומטרי. המאמר קושר גם בין שברים משולבים עם ערכים מרוכבים למנות של פונקציות היפרגאומטריות, ומכיל תוצאות על פונקציות טרנסצנדנטיות כמו פונקציית גמא ופונקציית הדיגמא; אחת התוצאות העמוקות ביותר בו, שלה גם הקשרים אריתמטיים מעניינים{{הערה|,On Gauss’ formula for ψ and finite expressions for the L-series at 1|כיוון=שמאל}}, היא "משפט הדיגמא של גאוס", המאפשר לבטא את פונקציית הדיגמא עבור כל הארגומנטים הרציונליים $psi(p/q)$ באמצעות קבוע אוילר-מסקרוני ופונקציות אלמנטריות בלבד. מלבד התגליות שבחיבור, הייתה לו חשיבות רבה גם להתפתחות המתמטיקה הריגורוזית, שכן תואר בו מעיין מודל לחקר התכנסות של טורים. בחלקו השני הלא מפורסם של המאמר - "קביעה של הטור המייצג משוואה דיפרנציאלית מסוימת מסדר שני", גאוס הרחיב את תחום ההגדרה של הפונקציה ההיפרגאומטרית, ודן בהתנהגות שלה בכל המישור המרוכב. כדי לעשות זאת הוא נקט בגישה שונה, וחקר פונקציות היפרגאומטריות לא באמצעות הצבת ערכי פרמטרים שונים בטור ההיפרגאומטרי שמייצג אותן, אלא דרך אפיונן כפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית היסודית שהן מקיימות:

$z(1-z)frac\; \{d^2w\}\{dz^2\}\; +\; left[c-(a+b+1)z\; right]\; frac\; \{dw\}\{dz\}\; -\; ab,w\; =\; 0$.

מיד לאחר ההצגה של המשוואה הדיפרנציאלית, גאוס בוחן את המבנה האנליטי המורכב של הפונקציה ומפתח ישירות מהמשוואה תכונות של הפונקציה כגון ערכיה בנקודות מיוחדות מסוימות וטרנספורמציות שונות שלה; אף על פי שלא זיהה במפורש את המושג של נקודת סינגולריות רגולרית של משוואה דיפרנציאלית, הוא מצא פיתוחים לטורים של שני הפתרונות הבלתי תלויים של המשוואה ההיפרגאומטרית בסביבת כל אחת משלוש נקודות הסינגולריות שלה (הממוקמות ב-$z\; =\; 0,1,infty$). בעקבות ניתוח של תכונה פרדוקסלית של טרנספורמציה ממעלה שנייה של הפונקציה ההיפרגאומטרית אותה גילה, גאוס מעלה לראשונה את בעיית המונודרומיה (monodromy) - הנוגעת להתנהגות הרב-ערכית של הפונקציה ההיפרגאומטרית כאשר ממשיכים אותה אנליטית{{הערה|חלק זה נותן גם אינדיקציה מסוימת לגבי מידת ההבנה שהיה לגאוס את רעיון ההמשכה האנליטית, שכן גאוס בראשונה ניסה להתמודד עם השאלה כיצד להמשיך אנליטית פונקציה אל מחוץ למעגל ההתכנסות שלה.}}. ארנסט קומר גילה ב-1836 את מרבית התוצאות שבחלק זה, מה שבמובנים רבים ייתר אותו.

החקירות האנליטיות של גאוס על הפונקציה ההיפרגאומטרית החלו במובנים רבים את פריחת תת-ענף הספרות המתמטית ששמות בולטים מהעשורים הבאים כמו ארנסט קומר, ברנהרד רימן, הרמן שוורץ ולזרוס פוקס היו כה מעורבים בפיתוחו. סוד ההשפעה שלהן טמון בכך שהן רמזו על קשר אינטימי בין תורת החבורות לתאוריה האיכותית של משוואות דיפרנציאליות במישור המרוכב; כיוון שגאוס הראה שניתן לקבל פתרון אחד של המשוואה ההיפרגאומטרית מפתרון אחר באמצעות הפעלת טרנספורמציה מתאימה על $F(alpha,beta,gamma,x)$, הדבר רמז על כך שהיחסים הפנימיים בין כל הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית ניתנים לקידוד בעזרת פעולת חבורה של טרנספורמציות. במאמרו המפורסם מ-1857, רימן תיאר את ההתנהגות ה"גלובלית" של הפונקציה דרך הבנייה של מטריצת המונודרומיה שלה והצגת הטרנספורמציות הליניאריות הקשורות בה; הגישה הקונספטואלית של רימן הביאה לבשלות את הנושא, ואפשרה לגזור את כל התכונות הידועות של הפונקציה ההיפרגאומטרית בעזרת כמות מועטה בהרבה של חישובים אלגבריים, תוך התייחסות גם למקרה הכללי יותר של מיקום שרירותי של נקודות הסינגולריות. מושא החקירות הללו הוכנס בסופו של דבר למסגרת עם ניסוח הבעיה ה-21 של הילברט (בעיית רימן-הילברט), שדורשת להוכיח קיום של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות עם חבורת מונודרומיה נתונה.

עדות נוספת להבנתו של גאוס את הנושא של היסודות הרעיוניים של האנליזה המרוכבת היא מכתבו לפרידריך בסל מ-1811, שזכור כמסמך הראשון שבו מופיעה הקביעה של "המשפט היסודי של פונקציות של משתנה מרוכב" - משפט האינטגרל של קושי (כ-15 שנה לפני עבודתו היסודית של אוגוסטן לואי קושי בתחום), שקובע שהאינטגרל הקווי של פונקציה מרוכבת הולומורפית לאורך מסלול סגור שווה לאפס (כל עוד התחום אינו מכיל נקודות סינגולריות) - ובשל ההבנה שהוא הציג על הרב-ערכיות של פונקציות מרוכבות מסביב לנקודות סינגולריות. במכתבו מסביר גאוס את הרב-ערכיות של פונקציית הלוגריתם $mathbb\{log\}(z)$ כתוצאה של אינטגרציה קווית במישור המרוכב של הפונקציה $frac$ לאורך קונטור מעגלי מסביב לנקודת הסינגולריות שלה ב-z = 0, תוך זיהוי נכון של ערך השארית $2pi\; i$ שמתווספת בכל מחזור אינטגרציה (דוגמה זאת למעשה שופכת אור על נוסחת אוילר באנליזה מרוכבת). במקום אחר בכתביו הוא כתב כי: "ידיעה מלאה של טבעה של פונקציה אנליטית חייבת לכלול גם הבנה של התנהגותה בעבור ערכים מדומים של הארגומנט שלה. לעיתים קרובות האחרונה היא חיונית אפילו בעבור הערכה נאותה של התנהגות הפונקציה בעבור ארגומנט ממשי.". מילים אלו מתכתבות במידת מה עם אחד ההישגים המרכזיים של תורת הפונקציות המרוכבות במאה ה-19 - התרתם של אינטגרלים ממשיים סבוכים באמצעות כלים מאנליזה מרוכבת.

ב-1805, במסגרת מחקריו האסטרונומיים הלא מפורסמים על פתרון משוואת קפלר, גאוס נתן ביטוי אסימפטוטי למקדמי הטור הטריגונומטרי המייצג את ההפרש בין האנומליה האמיתית והממוצעת. כחלק ממחקרו זה גילה גם את תופעת גבול לפלס , תופעה במסגרתה הטור הטריגונומטרי הנידון מתבדר בעבור ערכי אקסצנטריות הגדולים מערך קריטי מסוים (כשני עשורים לפני עבודתו הבלתי תלויה של לפלס בנושא). ממצאיו על ההתנהגות האסימפטוטית של מקדמי הטור הטריגונומטרי תאמו את הנוסחה שנמצאה על ידי יעקובי ב-1849, אולם הדרך בה הגיע אליה הייתה לאין ערוך קצרה יותר. כדי "לפצח" את התנהגות המקדמים, גאוס הפעיל טרנספורמציה מדומה מסוימת. אף שלא הסביר את הרעיון מאחורי ההצבה, מתמטיקאים מאוחרים יותר הראו כי בחירת הצורה המדויקת של הטרנספורמציה מרמזת על שימוש סמוי בנוסחת השאריות על אינטגרציה במישור המרוכב, כך שניתן לראות בפתרונו לבעיה אסטרונומית זו את אחד היישומים של רעיונותיו על יסודות האנליזה המרוכבת. בערוב ימיו הביע גאוס בפני שומאכר (במספר מכתבים מ-1850) את רצונו לכתוב חיבור על ההתכנסות של טורים טריגונומטריים, אשר יכלול גם את ההקשרים ל"דוקטרינה של גדלים מרוכבים".

עם כל זאת, כל מה שהשיג בנושא נתגלה רק לאחר מותו, וגאוס לא לקח בחלק בבנייה בפועל של תורת הפונקציות המרוכבות; זו נעשתה באופן שיטתי וישיר על ידי קושי, אבל, יעקובי, ליוביל, רימן ואחרים.

שמאל|200px|ממוזער|העתקה קונפורמית. במאמרו מ-1823 גאוס גילה את השקילות בין קונפורמיות להולומורפיות.

מנקודת מבט מתמטית מודרנית, עבודתו של גאוס על העתקות קונפורמיות קשורה בקשר הדוק לרעיונותיו על יסודות האנליזה המרוכבת. הפרסום המרכזי שלו בהקשר זה הוא מאמרו זוכה הפרס של האקדמיה הדנית למדעים משנת 1823, "פתרון כללי לבעיה של מיפוי משטח אחד על משטח אחר כך שהשניים יהיו דומים זה לזה בחלקיהם הקטנים